人邮高数 第6章 第6-3-24题
📝 题目
24．设 $u=f(x, y, z), y=\varphi(x, t), t=\psi(x, z)$ ，其中 $f$ 、 $\varphi$ 、 $\psi$ 均可微，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知 $$ u = f(x, y, z),\quad y = \varphi(x, t),\quad t = \psi(x, z) $$ 且 $f,\varphi,\psi$ 均可微。要求 $\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}}$。
首先，$u$ 最终依赖于 $x$ 和 $z$，因为 $y$ 和 $t$ 是中间变量。 由链式法则：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z} \cdot \frac{\partial z}{\partial x} $$
但注意 $z$ 与 $x$ 是独立的自变量吗？题目中 $u$ 最终是 $x$ 和 $z$ 的函数，因此 $\displaystyle{\frac{\partial z}{\partial x} = 0}$。于是上式简化为：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \cdot \frac{\partial y}{\partial x} $$
现在求 $\displaystyle{\frac{\partial y}{\partial x}}$。由于 $y = \varphi(x, t)$，而 $t = \psi(x, z)$，所以 $y$ 对 $x$ 求偏导时，$t$ 也依赖于 $x$，但 $z$ 视为常数：
$$ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} \cdot \frac{\partial t}{\partial x} $$
而 $\displaystyle{\frac{\partial t}{\partial x}}$ 由 $t = \psi(x, z)$ 得：
$$ \frac{\partial t}{\partial x} = \frac{\partial \psi}{\partial x} $$
代入得：
$$ \frac{\partial y}{\partial x} = \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x} $$
最后代回 $\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x}}$ 的表达式：
$$ \boxed{\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial y} \left( \frac{\partial \varphi}{\partial x} + \frac{\partial \varphi}{\partial t} \cdot \frac{\partial \psi}{\partial x} \right)}} $$
难度：★★☆☆☆