人邮高数 第6章 第6-3-29题

教材习题

📝 题目

29．设 $u=f(z), z=y+x \varphi(z)$ ，其中 $f 、 \varphi$ 可导且 $1-x \varphi^{\prime}(z) \neq 0$ ，求 $\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x} 、 \frac{\partial u}{\partial y}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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已知 $ u = f(z) $，且 $ z = y + x \varphi(z) $，其中 $ f, \varphi $ 可导，且 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $。

首先，由隐函数关系 $ z = y + x \varphi(z) $ 可知 $ z $ 是 $ x, y $ 的隐函数。对等式两边分别关于 $ x $ 和 $ y $ 求偏导。

**1. 求 $ \frac{\partial z}{\partial x} $**

对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ x $ 求偏导（注意 $ z $ 是 $ x, y $ 的函数）： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z) + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x} $$ 移项： $$ \frac{\partial z}{\partial x} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial x} = \varphi(z) $$ $$ \frac{\partial z}{\partial x} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = \varphi(z) $$ 由条件 $ 1 - x \varphi'(z) \neq 0 $，得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)} $$

**2. 求 $ \frac{\partial z}{\partial y} $**

对 $ z = y + x \varphi(z) $ 两边关于 $ y $ 求偏导： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = 1 + x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y} $$ 移项： $$ \frac{\partial z}{\partial y} - x \varphi'(z) \frac{\partial z}{\partial y} = 1 $$ $$ \frac{\partial z}{\partial y} \bigl(1 - x \varphi'(z)\bigr) = 1 $$ 因此： $$ \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{1}{1 - x \varphi'(z)} $$

**3. 求 $ \frac{\partial u}{\partial x} $ 和 $ \frac{\partial u}{\partial y} $**

由链式法则，$ u = f(z) $，故： $$ \frac{\partial u}{\partial x} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial x} = f'(z) \cdot \frac{\varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)} $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = f'(z) \cdot \frac{\partial z}{\partial y} = f'(z) \cdot \frac{1}{1 - x \varphi'(z)} $$

因此，最终结果为： $$ \boxed{\frac{\partial u}{\partial x} = \frac{f'(z) \varphi(z)}{1 - x \varphi'(z)}},\quad \boxed{\frac{\partial u}{\partial y} = \frac{f'(z)}{1 - x \varphi'(z)}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求 ∂z/∂x
对 z = y + x φ(z) 两边关于 x 求偏导，注意 z 是 x, y 的函数：∂z/∂x = φ(z) + x φ'(z) ∂z/∂x。移项得 (1 - x φ'(z)) ∂z/∂x = φ(z)，由条件 1 - x φ'(z) ≠ 0，解得 ∂z/∂x = φ(z) / (1 - x φ'(z))。
公式：∂z/∂x = φ(z) / (1 - x φ'(z))
提示：注意隐函数求导时，z 是 x 的函数，对 φ(z) 求导要用链式法则。
步骤 2/3
目标：求 ∂z/∂y
对 z = y + x φ(z) 两边关于 y 求偏导：∂z/∂y = 1 + x φ'(z) ∂z/∂y。移项得 (1 - x φ'(z)) ∂z/∂y = 1，解得 ∂z/∂y = 1 / (1 - x φ'(z))。
公式：∂z/∂y = 1 / (1 - x φ'(z))
提示：与求 ∂z/∂x 类似，但右边对 y 求导时，y 的导数为 1。
步骤 3/3
目标：求 ∂u/∂x 和 ∂u/∂y
由链式法则，u = f(z)，所以 ∂u/∂x = f'(z) ∂z/∂x = f'(z) φ(z) / (1 - x φ'(z))；∂u/∂y = f'(z) ∂z/∂y = f'(z) / (1 - x φ'(z))。
公式：∂u/∂x = f'(z) φ(z) / (1 - x φ'(z)), ∂u/∂y = f'(z) / (1 - x φ'(z))
提示：注意 f'(z) 表示 f 对 z 的导数。

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