人邮高数 第6章 第6-3-36题
📝 题目
36．设 $f(x, y, z)=x^{2}+y^{2}+z^{2}$ ，求 $\operatorname{grad} f(1,-1,2)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 首先回忆梯度的定义：对于三元函数 $f(x, y, z)$，梯度是一个向量，其分量为函数对各个自变量的偏导数，即 $$ \operatorname{grad} f = \left( \frac{\partial f}{\partial x},\ \frac{\partial f}{\partial y},\ \frac{\partial f}{\partial z} \right). $$
已知 $$ f(x, y, z) = x^{2} + y^{2} + z^{2}. $$ 分别求三个偏导数： $$ \frac{\partial f}{\partial x} = 2x,\quad \frac{\partial f}{\partial y} = 2y,\quad \frac{\partial f}{\partial z} = 2z. $$ 因此梯度向量为 $$ \operatorname{grad} f = (2x,\ 2y,\ 2z). $$
代入点 $(1, -1, 2)$： $$ \operatorname{grad} f(1, -1, 2) = (2 \cdot 1,\ 2 \cdot (-1),\ 2 \cdot 2) = (2,\ -2,\ 4). $$
最终结果为 $$ \boxed{(2,\ -2,\ 4)}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：回忆梯度的定义
对于三元函数 f(x, y, z)，梯度是一个向量，其分量为函数对各个自变量的偏导数，即 grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)。
公式：grad f = (∂f/∂x, ∂f/∂y, ∂f/∂z)
提示：梯度是向量，方向指向函数增长最快的方向。
步骤 2/4
目标：计算偏导数
已知 f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2，分别求三个偏导数：∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y，∂f/∂z = 2z。
公式：∂f/∂x = 2x, ∂f/∂y = 2y, ∂f/∂z = 2z
提示：对 x 求偏导时，将 y 和 z 视为常数。
步骤 3/4
目标：写出梯度向量
因此梯度向量为 grad f = (2x, 2y, 2z)。
公式：grad f = (2x, 2y, 2z)
提示：梯度向量由偏导数组成。
步骤 4/4
目标：代入给定点
代入点 (1, -1, 2)：grad f(1, -1, 2) = (2*1, 2*(-1), 2*2) = (2, -2, 4)。
提示：注意符号：-1 乘以 2 得 -2。
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