人邮高数 第6章 第6-3-38题
📝 题目
38．求函数 $u=x y^{2}+z^{3}-x y z$ 在点 $P_{0}(1,1,1)$ 处沿哪个方向的方向导数最大？最大值是多少？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求函数 $$ u = x y^{2} + z^{3} - x y z $$ 在点 $P_0(1,1,1)$ 处方向导数的最大值及对应的方向。
**第一步：计算梯度** 梯度向量由偏导数构成：
$$ \frac{\partial u}{\partial x} = y^{2} - y z $$ $$ \frac{\partial u}{\partial y} = 2xy - x z $$ $$ \frac{\partial u}{\partial z} = 3z^{2} - x y $$
在点 $P_0(1,1,1)$ 处代入：
$$ \left.\frac{\partial u}{\partial x}\right|_{P_0} = 1^{2} - 1\cdot 1 = 0 $$ $$ \left.\frac{\partial u}{\partial y}\right|_{P_0} = 2\cdot 1\cdot 1 - 1\cdot 1 = 2 - 1 = 1 $$ $$ \left.\frac{\partial u}{\partial z}\right|_{P_0} = 3\cdot 1^{2} - 1\cdot 1 = 3 - 1 = 2 $$
因此梯度为 $$ \nabla u(P_0) = (0, 1, 2) $$
**第二步：方向导数最大值** 方向导数最大值等于梯度的模：
$$ |\nabla u(P_0)| = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5} $$
**第三步：方向** 方向导数最大的方向就是梯度方向，即单位向量 $$ \frac{\nabla u(P_0)}{|\nabla u(P_0)|} = \left(0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}}\right) $$
**最终答案** 方向导数最大值是 $\sqrt{5}$，方向为 $(0, \frac{1}{\sqrt{5}}, \frac{2}{\sqrt{5}})$。
难度：★☆☆☆☆