人邮高数 第6章 第6-4-14题

[AI解答]

[AI解答]

**题目**：设曲面 $\Sigma: z = x e^{\frac{y}{x}}$，点 $M(x, y, z) \in \Sigma$，试证曲面 $\Sigma$ 在点 $M$ 处的法线垂直于直线 $OM$（其中 $O$ 为坐标原点）。

**证明**：

将曲面方程改写为隐函数形式： $$ F(x, y, z) = z - x e^{\frac{y}{x}} = 0. $$

曲面在点 $M(x, y, z)$ 处的法向量为梯度： $$ \mathbf{n} = \nabla F = \left( \frac{\partial F}{\partial x}, \frac{\partial F}{\partial y}, \frac{\partial F}{\partial z} \right). $$

先计算偏导数： $$ \frac{\partial F}{\partial x} = -\left( e^{\frac{y}{x}} + x \cdot e^{\frac{y}{x}} \cdot \left(-\frac{y}{x^2}\right) \right) = - e^{\frac{y}{x}} + \frac{y}{x} e^{\frac{y}{x}} = e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right). $$ $$ \frac{\partial F}{\partial y} = -x e^{\frac{y}{x}} \cdot \frac{1}{x} = - e^{\frac{y}{x}}. $$ $$ \frac{\partial F}{\partial z} = 1. $$

因此法向量为： $$ \mathbf{n} = \left( e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right), \; - e^{\frac{y}{x}}, \; 1 \right). $$

直线 $OM$ 的方向向量为 $\overrightarrow{OM} = (x, y, z)$。

要证明法线垂直于直线 $OM$，只需证明法向量与方向向量的点积为零： $$ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) \cdot x + (- e^{\frac{y}{x}}) \cdot y + 1 \cdot z. $$

化简第一项： $$ e^{\frac{y}{x}} \left( \frac{y}{x} - 1 \right) x = e^{\frac{y}{x}} (y - x). $$

于是： $$ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = e^{\frac{y}{x}}(y - x) - y e^{\frac{y}{x}} + z. $$ $$ = e^{\frac{y}{x}} y - e^{\frac{y}{x}} x - y e^{\frac{y}{x}} + z = - x e^{\frac{y}{x}} + z. $$

由于点 $M$ 在曲面上，满足 $z = x e^{\frac{y}{x}}$，代入得： $$ \mathbf{n} \cdot \overrightarrow{OM} = - x e^{\frac{y}{x}} + x e^{\frac{y}{x}} = 0. $$

因此法向量与 $OM$ 方向向量垂直，即法线垂直于直线 $OM$。证毕。

难度：★★☆☆☆