人邮高数 第6章 第6-4-24题
📝 题目
24．求二元函数 $z=f(x, y)=x^{2} y(4-x-y)$ 在直线 $x+y=6, x$ 轴和 $y$ 轴所围成的闭区域 $D$ 上的最大值与最小值．
💡 答案解析
[AI解答]
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**步骤1：确定闭区域 $D$** 由条件：直线 $x+y=6$ 与 $x$ 轴、$y$ 轴围成闭区域，即 $$ D = \{(x,y) \mid x \ge 0,\ y \ge 0,\ x+y \le 6\}. $$ 这是一个直角三角形区域，顶点为 $(0,0), (6,0), (0,6)$。
**步骤2：求函数在区域内部的驻点** 先求偏导数： $$ f(x,y) = x^2 y (4 - x - y) = 4x^2 y - x^3 y - x^2 y^2. $$ 计算一阶偏导： $$ f_x = \frac{\partial f}{\partial x} = 8xy - 3x^2 y - 2x y^2 = xy(8 - 3x - 2y), $$ $$ f_y = \frac{\partial f}{\partial y} = 4x^2 - x^3 - 2x^2 y = x^2(4 - x - 2y). $$ 令 $f_x = 0$ 且 $f_y = 0$，且考虑内部点 $x>0, y>0$，则： 由 $f_y = 0$ 得 $4 - x - 2y = 0$，即 $x = 4 - 2y$。 代入 $f_x = 0$ 中的 $8 - 3x - 2y = 0$： $$ 8 - 3(4-2y) - 2y = 8 - 12 + 6y - 2y = -4 + 4y = 0 \implies y = 1. $$ 于是 $x = 4 - 2 = 2$。 得到内部驻点 $(2,1)$，且满足 $x+y=3<6$，在区域内部。 计算函数值： $$ f(2,1) = 2^2 \cdot 1 \cdot (4 - 2 - 1) = 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4. $$
**步骤3：边界上的极值** 边界由三部分组成： **(1) 边界 $x=0$（$0 \le y \le 6$）** 此时 $f(0,y)=0$。
**(2) 边界 $y=0$（$0 \le x \le 6$）** 此时 $f(x,0)=0$。
**(3) 边界 $x+y=6$（$0 \le x \le 6$）** 代入 $y=6-x$，得 $$ f(x,6-x) = x^2 (6-x)(4 - x - (6-x)) = x^2 (6-x)(4 - x - 6 + x) = x^2 (6-x)(-2). $$ 即 $$ f = -2x^2(6-x) = -2(6x^2 - x^3) = -12x^2 + 2x^3. $$ 令 $g(x) = 2x^3 - 12x^2$，求导： $$ g'(x) = 6x^2 - 24x = 6x(x-4). $$ 令 $g'(x)=0$，得 $x=0$ 或 $x=4$。 - $x=0$ 时，$y=6$，$f=0$。 - $x=4$ 时，$y=2$，计算： $$ f(4,2) = 4^2 \cdot 2 \cdot (4-4-2) = 16 \cdot 2 \cdot (-2) = -64. $$ 端点 $x=6$ 时 $y=0$，$f=0$。
**步骤4：比较所有候选值** 内部驻点：$f(2,1)=4$ 边界点：$f=0$（多条边），$f(4,2)=-64$ 顶点 $(0,0),(6,0),(0,6)$ 均为 $0$。
因此最大值为 $4$，最小值为 $-64$。
**最终答案** $$ \boxed{\max = 4,\quad \min = -64} $$
难度评级：★★★☆☆