人邮高数 第6章 第6-4-26题

[AI解答]

[AI解答] 我们要求两条直线之间的最短距离。先写出两条直线的标准形式。

第一条直线： $$ \begin{cases} y = 2x, \\ z = x + 1 \end{cases} $$ 取参数 $t$，令 $x = t$，则： $$ y = 2t,\quad z = t + 1 $$ 所以直线 $L_1$ 的方向向量为： $$ \vec{s}_1 = (1, 2, 1) $$ 过点 $P_1 = (0, 0, 1)$。

第二条直线： $$ \begin{cases} y = x + 3, \\ z = x \end{cases} $$ 取参数 $s$，令 $x = s$，则： $$ y = s + 3,\quad z = s $$ 所以直线 $L_2$ 的方向向量为： $$ \vec{s}_2 = (1, 1, 1) $$ 过点 $P_2 = (0, 3, 0)$。

两直线间最短距离公式为： $$ d = \frac{\left| \left( \overrightarrow{P_1P_2} \right) \cdot \left( \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 \right) \right|}{\left\| \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 \right\|} $$

首先计算： $$ \overrightarrow{P_1P_2} = (0 - 0,\ 3 - 0,\ 0 - 1) = (0, 3, -1) $$

再计算方向向量的叉积： $$ \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(2\cdot 1 - 1\cdot 1) - \mathbf{j}(1\cdot 1 - 1\cdot 1) + \mathbf{k}(1\cdot 1 - 2\cdot 1) $$ $$ = \mathbf{i}(2 - 1) - \mathbf{j}(1 - 1) + \mathbf{k}(1 - 2) = (1, 0, -1) $$

其模长为： $$ \left\| \vec{s}_1 \times \vec{s}_2 \right\| = \sqrt{1^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{2} $$

计算点积： $$ \overrightarrow{P_1P_2} \cdot (\vec{s}_1 \times \vec{s}_2) = (0, 3, -1) \cdot (1, 0, -1) = 0\cdot 1 + 3\cdot 0 + (-1)\cdot(-1) = 1 $$

所以最短距离： $$ d = \frac{|1|}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} $$

因此，两直线之间的最短距离为 $\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}$。

难度：★★☆☆☆