人邮高数 第6章 第6-4-4题

教材习题

📝 题目

4．求下列曲面在指定点处的切平面及法线方程． （1） $\mathrm{e}^{z}-z+x y=3, M(2,1,0)$ ； （2）$z=x^{2}+y^{2}, M(2,1,5)$ ； （3）$\displaystyle z=\arctan \frac{y}{x}, M_{0}\left(1,1, \frac{\pi}{4}\right)$ ； （4）$\displaystyle z=y+\ln \frac{x}{z}, M_{0}(1,1,1)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 以下为各小题的详细求解过程。

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### （1） 曲面方程： $$ \mathrm{e}^{z} - z + xy = 3, \quad M(2,1,0) $$ 令 $$ F(x,y,z) = \mathrm{e}^{z} - z + xy - 3 $$ 则 $$ \frac{\partial F}{\partial x} = y,\quad \frac{\partial F}{\partial y} = x,\quad \frac{\partial F}{\partial z} = \mathrm{e}^{z} - 1 $$ 在点 $M(2,1,0)$ 处： $$ F_x = 1,\quad F_y = 2,\quad F_z = \mathrm{e}^{0} - 1 = 0 $$ 因此切平面方程为： $$ 1\cdot (x-2) + 2\cdot (y-1) + 0\cdot (z-0) = 0 $$ 即 $$ x + 2y - 4 = 0 $$ 法线方程为： $$ \frac{x-2}{1} = \frac{y-1}{2},\quad z = 0 $$

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### （2） 曲面方程： $$ z = x^{2} + y^{2}, \quad M(2,1,5) $$ 改写为 $$ F(x,y,z) = x^{2} + y^{2} - z = 0 $$ 则 $$ F_x = 2x,\quad F_y = 2y,\quad F_z = -1 $$ 在点 $M(2,1,5)$： $$ F_x = 4,\quad F_y = 2,\quad F_z = -1 $$ 切平面方程： $$ 4(x-2) + 2(y-1) - (z-5) = 0 $$ 化简得 $$ 4x + 2y - z - 5 = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-2}{4} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-5}{-1} $$

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### （3） 曲面方程： $$ z = \arctan\frac{y}{x}, \quad M_0\left(1,1,\frac{\pi}{4}\right) $$ 令 $$ F(x,y,z) = \arctan\frac{y}{x} - z = 0 $$ 则 $$ F_x = \frac{-\frac{y}{x^{2}}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} = \frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\quad F_y = \frac{\frac{1}{x}}{1+\left(\frac{y}{x}\right)^{2}} = \frac{x}{x^{2}+y^{2}},\quad F_z = -1 $$ 在点 $M_0(1,1,\frac{\pi}{4})$： $$ F_x = \frac{-1}{2},\quad F_y = \frac{1}{2},\quad F_z = -1 $$ 切平面方程： $$ -\frac{1}{2}(x-1) + \frac{1}{2}(y-1) - \left(z-\frac{\pi}{4}\right) = 0 $$ 化简得 $$ -x + y - 2z + \frac{\pi}{2} = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-1}{-1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-\frac{\pi}{4}}{-2} $$

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### （4） 曲面方程： $$ z = y + \ln\frac{x}{z}, \quad M_0(1,1,1) $$ 改写为 $$ F(x,y,z) = y + \ln x - \ln z - z = 0 $$ 则 $$ F_x = \frac{1}{x},\quad F_y = 1,\quad F_z = -\frac{1}{z} - 1 $$ 在点 $M_0(1,1,1)$： $$ F_x = 1,\quad F_y = 1,\quad F_z = -2 $$ 切平面方程： $$ 1\cdot (x-1) + 1\cdot (y-1) - 2(z-1) = 0 $$ 化简得 $$ x + y - 2z = 0 $$ 法线方程： $$ \frac{x-1}{1} = \frac{y-1}{1} = \frac{z-1}{-2} $$

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**难度评级**：★★☆☆☆ （属于基础题，主要考查隐函数求偏导与切平面法线公式，计算量小，思路固定。）

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：求曲面在指定点处的切平面及法线方程（1）
令 F(x,y,z)=e^z - z + xy - 3，求偏导：F_x=y, F_y=x, F_z=e^z-1。在点(2,1,0)处，F_x=1, F_y=2, F_z=0。切平面方程：1*(x-2)+2*(y-1)=0，即 x+2y-4=0。法线方程：(x-2)/1=(y-1)/2, z=0。
公式：切平面：F_x(x0,y0,z0)(x-x0)+F_y(x0,y0,z0)(y-y0)+F_z(x0,y0,z0)(z-z0)=0；法线：(x-x0)/F_x=(y-y0)/F_y=(z-z0)/F_z
提示：注意F_z=0时法线方程中z方向分量为0。
步骤 2/4
目标：求曲面在指定点处的切平面及法线方程（2）
令 F(x,y,z)=x^2+y^2-z，求偏导：F_x=2x, F_y=2y, F_z=-1。在点(2,1,5)处，F_x=4, F_y=2, F_z=-1。切平面方程：4(x-2)+2(y-1)-(z-5)=0，即 4x+2y-z-5=0。法线方程：(x-2)/4=(y-1)/2=(z-5)/(-1)。
公式：同上
提示：将曲面方程化为F=0形式。
步骤 3/4
目标：求曲面在指定点处的切平面及法线方程（3）
令 F(x,y,z)=arctan(y/x)-z，求偏导：F_x=-y/(x^2+y^2), F_y=x/(x^2+y^2), F_z=-1。在点(1,1,π/4)处，F_x=-1/2, F_y=1/2, F_z=-1。切平面方程：(-1/2)(x-1)+(1/2)(y-1)-(z-π/4)=0，即 -x+y-2z+π/2=0。法线方程：(x-1)/(-1)=(y-1)/1=(z-π/4)/(-2)。
公式：同上
提示：注意arctan的偏导公式。
步骤 4/4
目标：求曲面在指定点处的切平面及法线方程（4）
将方程化为 F(x,y,z)=y+ln x - ln z - z=0，求偏导：F_x=1/x, F_y=1, F_z=-1/z-1。在点(1,1,1)处，F_x=1, F_y=1, F_z=-2。切平面方程：1*(x-1)+1*(y-1)-2(z-1)=0，即 x+y-2z=0。法线方程：(x-1)/1=(y-1)/1=(z-1)/(-2)。
公式：同上
提示：注意ln(x/z)=ln x - ln z。

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