人邮高数 第7章 第7-1-2题

[AI解答]

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该立体由椭球面 $\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}} \leqslant 1$ 的下半部分（$z \leq 0$）构成，因此体积为整个椭球体积的一半。

椭球方程可改写为： $$ \frac{z^{2}}{c^{2}} = 1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} $$ 由于 $z \leq 0$，有 $$ z = -c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} $$

立体在 $xOy$ 平面上的投影区域 $D$ 为： $$ \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 $$ 即一个椭圆区域。

因此，所求体积 $V$ 可用二重积分表示为： $$ V = \iint_{D} \left( -c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} \right) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 由于被积函数为负，但体积取正值，故实际体积为： $$ V = \iint_{D} c \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}}} \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 其中积分区域： $$ D = \left\{ (x, y) \;\middle|\; \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1 \right\} $$

若采用广义极坐标变换： $$ x = a r \cos\theta,\quad y = b r \sin\theta,\quad 0 \leq r \leq 1,\quad 0 \leq \theta \leq 2\pi $$ 雅可比行列式为 $ab r$，则体积可进一步写为： $$ V = \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} c \sqrt{1 - r^{2}} \cdot ab\, r \, \mathrm{d}r $$ 即： $$ V = abc \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} r \sqrt{1 - r^{2}} \, \mathrm{d}r $$

最终积分区域表达式： $$ \boxed{V = \iint\limits_{\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}\leq 1} c\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}}\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y} $$ 积分区域： $$ \boxed{D = \left\{(x,y)\ \Big|\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} \leq 1\right\}} $$

难度：★★☆☆☆