人邮高数 第7章 第7-1-23题

[AI解答]

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我们要求曲面 $ z = 1 - 4x^2 - y^2 $ 与 $ xOy $ 平面（即 $ z = 0 $）所围成的立体体积。 该曲面是一个开口向下的椭圆抛物面，与平面 $ z = 0 $ 的交线由方程 $$ 1 - 4x^2 - y^2 = 0 $$ 决定，即 $$ 4x^2 + y^2 = 1. $$ 这是一个在 $ xOy $ 平面上的椭圆，长轴在 $ y $ 轴方向，短轴在 $ x $ 轴方向。

体积可以用二重积分表示为 $$ V = \iint\limits_{D} (1 - 4x^2 - y^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y, $$ 其中 $ D $ 是椭圆区域： $$ D = \left\{ (x, y) \mid 4x^2 + y^2 \leq 1 \right\}. $$

为了便于积分，作变量代换： 令 $$ x = \frac{r}{2} \cos\theta, \quad y = r \sin\theta, $$ 其中 $ r \in [0, 1] $，$ \theta \in [0, 2\pi] $。 该变换的雅可比行列式为 $$ \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \theta)} = \begin{vmatrix} \frac{1}{2}\cos\theta & -\frac{r}{2}\sin\theta \\ \sin\theta & r\cos\theta \end{vmatrix} = \frac{1}{2}r (\cos^2\theta + \sin^2\theta) = \frac{r}{2}. $$ 因此 $$ \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac{r}{2} \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta. $$

被积函数变为 $$ 1 - 4x^2 - y^2 = 1 - 4\left(\frac{r^2}{4}\cos^2\theta\right) - r^2\sin^2\theta = 1 - r^2\cos^2\theta - r^2\sin^2\theta = 1 - r^2. $$

于是体积为 $$ V = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{1} (1 - r^2) \cdot \frac{r}{2} \, \mathrm{d}r\mathrm{d}\theta = \frac{1}{2} \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\theta \int_{0}^{1} (r - r^3) \, \mathrm{d}r. $$

先计算内层积分： $$ \int_{0}^{1} (r - r^3) \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^2}{2} - \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}. $$

再计算外层积分： $$ \frac{1}{2} \cdot 2\pi \cdot \frac{1}{4} = \frac{\pi}{4}. $$

因此，所求立体体积为 $$ \boxed{\dfrac{\pi}{4}}. $$

难度：★★☆☆☆