人邮高数 第1章 第1-6-*8题

教材习题

📝 题目

＊8．求曲线 $\displaystyle f(x)=\frac{x^{2}+1}{x+1}(x \neq-1)$ 的斜渐近线方程．

💡 答案解析

[AI解答]

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**解**： 要求曲线 $f(x)=\dfrac{x^{2}+1}{x+1}$ 的斜渐近线方程，设斜渐近线为 $y = kx + b$，其中 $$ k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x}, \quad b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \bigl[f(x) - kx\bigr]. $$

首先计算 $k$： $$ k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}+1}{x+1}}{x} = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}+1}{x(x+1)} = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}+1}{x^{2}+x}. $$ 分子分母同除以 $x^{2}$： $$ k = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{1+\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x}} = \frac{1+0}{1+0} = 1. $$

再计算 $b$： $$ b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \left[ \frac{x^{2}+1}{x+1} - 1 \cdot x \right] = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \left( \frac{x^{2}+1}{x+1} - x \right). $$ 通分： $$ \frac{x^{2}+1}{x+1} - x = \frac{x^{2}+1 - x(x+1)}{x+1} = \frac{x^{2}+1 - x^{2} - x}{x+1} = \frac{1 - x}{x+1}. $$ 因此 $$ b = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{1 - x}{x+1} = \displaystyle{}\lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x} - 1}{1 + \frac{1}{x}} = \frac{0 - 1}{1 + 0} = -1. $$

所以斜渐近线方程为 $$ \boxed{y = x - 1}. $$

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：设斜渐近线方程并写出斜率k和截距b的公式
设斜渐近线为 y = kx + b，其中 k = lim_{x→∞} f(x)/x，b = lim_{x→∞} [f(x) - kx]。
公式：k = lim_{x→∞} f(x)/x, b = lim_{x→∞} [f(x) - kx]
提示：斜渐近线存在的前提是k和b均为有限常数。
步骤 2/4
目标：计算斜率k
k = lim_{x→∞} [ (x^2+1)/(x+1) ] / x = lim_{x→∞} (x^2+1)/(x(x+1)) = lim_{x→∞} (x^2+1)/(x^2+x)。分子分母同除以x^2得：k = lim_{x→∞} (1+1/x^2)/(1+1/x) = (1+0)/(1+0) = 1。
公式：k = lim_{x→∞} (1+1/x^2)/(1+1/x) = 1
提示：注意极限计算时，分子分母同除以最高次幂。
步骤 3/4
目标：计算截距b
b = lim_{x→∞} [ (x^2+1)/(x+1) - x ]。通分得：b = lim_{x→∞} (x^2+1 - x(x+1))/(x+1) = lim_{x→∞} (1-x)/(x+1)。分子分母同除以x得：b = lim_{x→∞} (1/x - 1)/(1 + 1/x) = (0-1)/(1+0) = -1。
公式：b = lim_{x→∞} (1-x)/(x+1) = -1
提示：通分时注意符号，避免计算错误。
步骤 4/4
目标：写出斜渐近线方程
由k=1，b=-1，得斜渐近线方程为 y = x - 1。
公式：y = x - 1
提示：最终结果应化简为最简形式。

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