人邮高数 第7章 第7-1-29题

[AI解答]

[AI解答] 我们要求由坐标轴和直线 $2x + y = 6$ 所围成的三角形均匀薄片的质心。 该三角形区域为第一象限内，直线与 $x$ 轴交点为 $(3,0)$，与 $y$ 轴交点为 $(0,6)$。 因为是均匀薄片，质心即为形心，坐标公式为：

$$ \bar{x} = \frac{\displaystyle\iint_D x \, dA}{\displaystyle\iint_D dA}, \quad \bar{y} = \frac{\displaystyle\iint_D y \, dA}{\displaystyle\iint_D dA} $$

**第一步：求面积** 区域 $D$：$0 \le x \le 3$，$0 \le y \le 6 - 2x$。

$$ A = \iint_D dA = \int_{0}^{3} \int_{0}^{6-2x} dy \, dx = \int_{0}^{3} (6 - 2x) \, dx = \left[ 6x - x^2 \right]_{0}^{3} = 18 - 9 = 9 $$

**第二步：求 $\bar{x}$**

$$ \iint_D x \, dA = \int_{0}^{3} x \left( \int_{0}^{6-2x} dy \right) dx = \int_{0}^{3} x (6 - 2x) \, dx = \int_{0}^{3} (6x - 2x^2) \, dx = \left[ 3x^2 - \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{3} = 27 - 18 = 9 $$

所以 $$ \bar{x} = \frac{9}{9} = 1 $$

**第三步：求 $\bar{y}$**

$$ \iint_D y \, dA = \int_{0}^{3} \int_{0}^{6-2x} y \, dy \, dx = \int_{0}^{3} \left[ \frac{y^2}{2} \right]_{0}^{6-2x} dx = \int_{0}^{3} \frac{(6-2x)^2}{2} \, dx $$

先展开：$(6-2x)^2 = 36 - 24x + 4x^2$，除以2得 $18 - 12x + 2x^2$。 积分：

$$ \int_{0}^{3} (18 - 12x + 2x^2) \, dx = \left[ 18x - 6x^2 + \frac{2}{3}x^3 \right]_{0}^{3} = 54 - 54 + 18 = 18 $$

所以 $$ \bar{y} = \frac{18}{9} = 2 $$

**结论**：质心坐标为 $(1, 2)$。

难度：★☆☆☆☆