人邮高数 第7章 第7-1-6题
📝 题目
6．利用二重积分的性质估计积分 $I=\displaystyle{\iint}_{D}(x+y+1) \mathrm{d} \sigma$ 的值，其中 $D$ 是矩形闭区域： $0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 2$.
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**步骤1：确定被积函数在区域上的取值范围** 区域 $ D = [0,1] \times [0,2] $，被积函数 $ f(x,y) = x + y + 1 $。 由于 $ x \in [0,1], y \in [0,2] $，显然 $ f(x,y) $ 是连续且单调递增的，因此其最小值与最大值分别在区域的左下角与右上角取得：
最小值： $$ m = f(0,0) = 0 + 0 + 1 = 1 $$ 最大值： $$ M = f(1,2) = 1 + 2 + 1 = 4 $$
因此在整个区域 $ D $ 上有： $$ 1 \le x + y + 1 \le 4 $$
**步骤2：计算区域面积** 区域 $ D $ 是矩形，面积： $$ A(D) = (1-0) \times (2-0) = 2 $$
**步骤3：利用二重积分估值性质** 由二重积分的不等式性质： $$ m \cdot A(D) \le \iint_D (x+y+1)\, \mathrm{d}\sigma \le M \cdot A(D) $$ 代入得： $$ 1 \times 2 \le I \le 4 \times 2 $$ 即： $$ 2 \le I \le 8 $$
因此，积分 $ I $ 的值介于 $ 2 $ 与 $ 8 $ 之间。
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定被积函数在区域上的取值范围
区域 D = [0,1] × [0,2]，被积函数 f(x,y) = x + y + 1。由于 x ∈ [0,1], y ∈ [0,2]，f(x,y) 是连续且单调递增的，因此最小值在左下角 (0,0) 取得，最大值在右上角 (1,2) 取得。计算得 m = f(0,0) = 1，M = f(1,2) = 4。所以 1 ≤ x+y+1 ≤ 4。
公式：m = min_{(x,y)∈D} f(x,y), M = max_{(x,y)∈D} f(x,y)
提示：对于线性函数，最值在边界顶点处取得。
步骤 2/3
目标：计算区域面积
区域 D 是矩形，长 = 1，宽 = 2，面积 A(D) = 1 × 2 = 2。
公式：A(D) = (1-0) × (2-0) = 2
提示：矩形面积等于长乘以宽。
步骤 3/3
目标：利用二重积分估值性质
由二重积分的不等式性质：m·A(D) ≤ ∬_D f(x,y) dσ ≤ M·A(D)。代入 m=1, M=4, A(D)=2，得 1×2 ≤ I ≤ 4×2，即 2 ≤ I ≤ 8。
公式：m·A(D) ≤ ∬_D f(x,y) dσ ≤ M·A(D)
提示：估值性质适用于连续函数在有界闭区域上的积分。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。