人邮高数 第7章 第7-3-11题
📝 题目
11．计算曲线积分 $I=\displaystyle{\oint}_{L} y^{2} \mathrm{~d} x+z^{2} \mathrm{~d} y+x^{2} \mathrm{~d} z$ ，其中 $L:\left\{\begin{array}{l}z=\sqrt{a^{2}-x^{2}-y^{2}}, \\ x^{2}+y^{2}=a x,\end{array} \quad(a\gt 0)\right.$ ，从 $z$ 轴正向朝下看逆时针方向。
💡 答案解析
[AI解答]
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**第一步：分析曲线与方向** 曲线 $L$ 由球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 与圆柱面 $x^2+y^2=ax$ 相交得到，且 $z\ge 0$。 从 $z$ 轴正向朝下看（即俯视 $xy$ 平面），曲线方向为逆时针。
**第二步：使用斯托克斯公式** 令 $$ P=y^2,\quad Q=z^2,\quad R=x^2 $$ 斯托克斯公式： $$ \oint_L P\,dx+Q\,dy+R\,dz = \iint_S \left( \frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z} \right) dy\,dz + \left( \frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x} \right) dz\,dx + \left( \frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy $$ 计算偏导数： $$ \frac{\partial R}{\partial y}=0,\quad \frac{\partial Q}{\partial z}=2z,\quad \frac{\partial P}{\partial z}=0,\quad \frac{\partial R}{\partial x}=2x,\quad \frac{\partial Q}{\partial x}=0,\quad \frac{\partial P}{\partial y}=2y $$ 代入得： $$ \iint_S (0-2z)\,dy\,dz + (0-2x)\,dz\,dx + (0-2y)\,dx\,dy $$ 即： $$ \iint_S -2z\,dy\,dz -2x\,dz\,dx -2y\,dx\,dy $$
**第三步：选取曲面与投影** 取曲面 $S$ 为球面 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 上被 $x^2+y^2=ax$ 所截的部分，方向与曲线方向符合右手法则（取上侧）。 将曲面积分投影到 $xy$ 平面计算更方便。此时： $$ dz\,dx = -\frac{\partial z}{\partial y} dx\,dy,\quad dy\,dz = -\frac{\partial z}{\partial x} dx\,dy $$ 由 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$ 得： $$ \frac{\partial z}{\partial x} = -\frac{x}{z},\quad \frac{\partial z}{\partial y} = -\frac{y}{z} $$ 于是： $$ dy\,dz = -\frac{\partial z}{\partial x} dx\,dy = \frac{x}{z} dx\,dy,\quad dz\,dx = -\frac{\partial z}{\partial y} dx\,dy = \frac{y}{z} dx\,dy $$ 代入曲面积分： $$ \iint_S -2z\left(\frac{x}{z}\right) -2x\left(\frac{y}{z}\right) -2y\; dx\,dy $$ 化简： $$ \iint_S -2x - \frac{2xy}{z} - 2y \; dx\,dy $$ 注意这里 $z=\sqrt{a^2-x^2-y^2}$。
**第四步：利用对称性简化** 积分区域 $D$：$x^2+y^2=ax$，即 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2=\left(\frac{a}{2}\right)^2$。 由于区域关于 $x$ 轴对称，且被积函数中 $\frac{2xy}{z}$ 是 $y$ 的奇函数，该项积分为零。 于是： $$ I = \iint_D (-2x-2y)\,dx\,dy $$ 又因区域关于 $x$ 轴对称，$-2y$ 的积分为零，剩下： $$ I = -2\iint_D x\,dx\,dy $$
**第五步：计算二重积分** 区域 $D$ 是圆盘 $(x-\frac{a}{2})^2+y^2 \le \left(\frac{a}{2}\right)^2$。 用平移：令 $u=x-\frac{a}{2},\ v=y$，则区域变为 $u^2+v^2\le \left(\frac{a}{2}\right)^2$，且 $x=u+\frac{a}{2}$。 于是： $$ \iint_D x\,dx\,dy = \iint_{u^2+v^2\le (a/2)^2} \left(u+\frac{a}{2}\right) du\,dv $$ 由对称性，$u$ 的积分为零，剩下： $$ = \frac{a}{2} \cdot \text{面积} = \frac{a}{2} \cdot \pi\left(\frac{a}{2}\right)^2 = \frac{a}{2}\cdot \frac{\pi a^2}{4} = \frac{\pi a^3}{8} $$ 因此： $$ I = -2 \cdot \frac{\pi a^3}{8} = -\frac{\pi a^3}{4} $$
**第六步：最终答案** $$ \boxed{-\dfrac{\pi a^{3}}{4}} $$
难度评级：★★★☆☆ （需熟练运用斯托克斯公式、曲面积分投影及对称性化简，计算量适中）