人邮高数 第7章 第7-3-3题
📝 题目
3．计算 $I=\displaystyle{\int}_{L}\left(x^{2}-y\right) \mathrm{d} x+\left(y^{2}+x\right) \mathrm{d} y$ 的值，其中 $L$ 分别如下。 （1）从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$ 的直线； （2）从 $A(0,1)$ 到 $B(1,1)$ 再从 $B(1,1)$ 到 $C(1,2)$ 的折线； （3）从 $A(0,1)$ 沿抛物线 $y=x^{2}+1$ 到 $C(1,2)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目**：计算曲线积分 $$ I = \displaystyle{\int}_{L} (x^{2} - y) \, \mathrm{d}x + (y^{2} + x) \, \mathrm{d}y $$ 其中 $L$ 分别为三种路径。
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### （1）从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$ 的直线
直线参数方程： 从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$，方向向量为 $(1,1)$，参数化： $$ x = t,\quad y = 1 + t,\quad t: 0 \to 1 $$ 则 $$ \mathrm{d}x = \mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}y = \mathrm{d}t $$ 被积表达式： $$ (x^{2} - y) \mathrm{d}x + (y^{2} + x) \mathrm{d}y = \big[ t^{2} - (1+t) \big] \mathrm{d}t + \big[ (1+t)^{2} + t \big] \mathrm{d}t $$ 化简： $$ t^{2} - 1 - t + (1 + 2t + t^{2} + t) = t^{2} - 1 - t + 1 + 3t + t^{2} = 2t^{2} + 2t $$ 所以 $$ I = \displaystyle{\int}_{0}^{1} (2t^{2} + 2t) \, \mathrm{d}t = \left[ \frac{2}{3} t^{3} + t^{2} \right]_{0}^{1} = \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{3} $$
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### （2）折线 $A \to B \to C$
**第一段**：$A(0,1)$ 到 $B(1,1)$，水平直线，$y=1$，$\mathrm{d}y=0$，$x:0\to1$ $$ I_{1} = \displaystyle{\int}_{0}^{1} (x^{2} - 1) \, \mathrm{d}x = \left[ \frac{x^{3}}{3} - x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{3} - 1 = -\frac{2}{3} $$
**第二段**：$B(1,1)$ 到 $C(1,2)$，竖直线，$x=1$，$\mathrm{d}x=0$，$y:1\to2$ $$ I_{2} = \displaystyle{\int}_{1}^{2} (y^{2} + 1) \, \mathrm{d}y = \left[ \frac{y^{3}}{3} + y \right]_{1}^{2} = \left( \frac{8}{3} + 2 \right) - \left( \frac{1}{3} + 1 \right) = \frac{14}{3} - \frac{4}{3} = \frac{10}{3} $$
总积分： $$ I = I_{1} + I_{2} = -\frac{2}{3} + \frac{10}{3} = \frac{8}{3} $$
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### （3）沿抛物线 $y = x^{2} + 1$ 从 $A(0,1)$ 到 $C(1,2)$
参数化：$x = t$，$y = t^{2} + 1$，$t:0\to1$ 则 $$ \mathrm{d}x = \mathrm{d}t,\quad \mathrm{d}y = 2t \, \mathrm{d}t $$ 被积表达式： $$ (x^{2} - y) \mathrm{d}x + (y^{2} + x) \mathrm{d}y = \big[ t^{2} - (t^{2}+1) \big] \mathrm{d}t + \big[ (t^{2}+1)^{2} + t \big] \cdot 2t \, \mathrm{d}t $$ 化简第一项：$t^{2} - t^{2} - 1 = -1$ 第二项展开： $$ (t^{4} + 2t^{2} + 1 + t) \cdot 2t = 2t^{5} + 4t^{3} + 2t + 2t^{2} $$ 所以被积函数为： $$ -1 + 2t^{5} + 4t^{3} + 2t^{2} + 2t $$ 积分： $$ I = \displaystyle{\int}_{0}^{1} \left( 2t^{5} + 4t^{3} + 2t^{2} + 2t - 1 \right) \mathrm{d}t $$ 逐项积分： $$ \left[ \frac{2}{6}t^{6} + \frac{4}{4}t^{4} + \frac{2}{3}t^{3} + \frac{2}{2}t^{2} - t \right]_{0}^{1} = \left[ \frac{1}{3} t^{6} + t^{4} + \frac{2}{3}t^{3} + t^{2} - t \right]_{0}^{1} $$ 代入 $t=1$： $$ \frac{1}{3} + 1 + \frac{2}{3} + 1 - 1 = \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + 1 = 1 + 1 = 2 $$ 所以 $I = 2$。
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**结果汇总**： (1) $\displaystyle \frac{5}{3}$ (2) $\displaystyle \frac{8}{3}$ (3) $2$
该积分与路径有关，因为被积表达式不是恰当微分。
**难度评级**：★★☆☆☆