人邮高数 第7章 第7-3-6题

教材习题

📝 题目

6．计算曲线积分 $\displaystyle{\int}_{L}|y| \mathrm{d} s$ ，其中 $L: x^{2}+y^{2}=1(x \geqslant 0)$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

[AI解答] 曲线 $L$ 是右半单位圆，即 $x^2 + y^2 = 1$，且 $x \geq 0$。 由于被积函数含有 $|y|$，而曲线关于 $x$ 轴对称，且 $|y|$ 为偶函数，因此可以只计算上半圆再乘以 2。

将曲线参数化： 令 $x = \cos\theta,\ y = \sin\theta$，其中 $\displaystyle \theta \in \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$。 弧长微元为 $$ \mathrm{d}s = \sqrt{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}\theta}\right)^2 + \left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}\theta}\right)^2}\,\mathrm{d}\theta = \sqrt{(-\sin\theta)^2 + (\cos\theta)^2}\,\mathrm{d}\theta = \mathrm{d}\theta. $$ 于是 $$ \int_{L} |y| \, \mathrm{d}s = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin\theta| \, \mathrm{d}\theta. $$ 由于 $|\sin\theta|$ 在 $\displaystyle \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right]$ 上是偶函数，所以 $$ \int_{-\pi/2}^{\pi/2} |\sin\theta| \, \mathrm{d}\theta = 2 \int_{0}^{\pi/2} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = 2 \left[-\cos\theta\right]_{0}^{\pi/2} = 2(0 - (-1)) = 2. $$

因此，所求曲线积分为 $$ \boxed{2}. $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：分析曲线对称性
曲线L是右半单位圆，关于x轴对称。被积函数|y|是偶函数，因此积分等于上半圆积分的2倍。
提示：利用对称性简化计算
步骤 2/6
目标：参数化曲线
令x=cosθ, y=sinθ，由于x≥0，θ∈[-π/2, π/2]。
提示：参数化时注意定义域
步骤 3/6
目标：计算弧长微元
ds = √[(dx/dθ)² + (dy/dθ)²] dθ = √[(-sinθ)² + (cosθ)²] dθ = dθ。
公式：ds = dθ
提示：弧长微元公式
步骤 4/6
目标：将曲线积分化为定积分
∫_L |y| ds = ∫_{-π/2}^{π/2} |sinθ| dθ。
步骤 5/6
目标：利用偶函数性质简化定积分
∫_{-π/2}^{π/2} |sinθ| dθ = 2∫_0^{π/2} sinθ dθ。
提示：偶函数在对称区间上的积分性质
步骤 6/6
目标：计算定积分
2∫_0^{π/2} sinθ dθ = 2[-cosθ]_0^{π/2} = 2(0 - (-1)) = 2。
公式：∫ sinθ dθ = -cosθ

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