人邮高数 第7章 第7-5-10题

教材习题

📝 题目

10．设稳定且不可压缩的流体的速度场为 $\boldsymbol{v}(x, y, z)=x^{2} \boldsymbol{i}+y^{2} \boldsymbol{j}+z^{2} \boldsymbol{k}, \displaystyle{\sum}$ 为球面 $x^{2}+y^{2}+ z^{2}=a^{2}$ 的外侧位于第一卦限的部分。求流体流向 $\displaystyle{\sum}$ 指定一侧的流量 $\Phi$ 。

💡 答案解析

[AI解答]

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本题要求计算不可压缩稳定流体通过球面第一卦限部分外侧的流量。 流量公式为： $$ \Phi = \iint_{\Sigma} \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} \, dS $$ 其中 $\boldsymbol{n}$ 为指定侧的单位法向量，这里取外侧。

由于曲面是球面 $x^2+y^2+z^2 = a^2$ 在第一卦限的部分，其外侧法向量方向与位置向量方向相同，即： $$ \boldsymbol{n} = \frac{x\boldsymbol{i}+y\boldsymbol{j}+z\boldsymbol{k}}{a} $$ 因此： $$ \boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{n} = \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a} $$

于是流量为： $$ \Phi = \iint_{\Sigma} \frac{x^3 + y^3 + z^3}{a} \, dS $$

利用对称性，在第一卦限的球面上，$x, y, z$ 地位相同，所以： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \iint_{\Sigma} y^3 \, dS = \iint_{\Sigma} z^3 \, dS $$ 因此： $$ \Phi = \frac{3}{a} \iint_{\Sigma} x^3 \, dS $$

下面计算 $\displaystyle\iint_{\Sigma} x^3 \, dS$。采用球坐标： $$ x = a\sin\theta\cos\phi,\quad y = a\sin\theta\sin\phi,\quad z = a\cos\theta $$ 第一卦限对应： $$ 0 \le \theta \le \frac{\pi}{2},\quad 0 \le \phi \le \frac{\pi}{2} $$ 球面面积元： $$ dS = a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi $$ 于是： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = \int_{0}^{\pi/2} \int_{0}^{\pi/2} (a\sin\theta\cos\phi)^3 \cdot a^2 \sin\theta \, d\theta d\phi $$ $$ = a^5 \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta $$

分别计算两个积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^3\phi \, d\phi = \int_{0}^{\pi/2} \cos\phi (1-\sin^2\phi) \, d\phi $$ 令 $u=\sin\phi$，则： $$ = \int_{0}^{1} (1-u^2) \, du = \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{0}^{1} = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} $$

另一个积分： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \left( \frac{1-\cos2\theta}{2} \right)^2 d\theta = \frac{1}{4} \int_{0}^{\pi/2} \left(1 - 2\cos2\theta + \cos^2 2\theta\right) d\theta $$ 而： $$ \int_{0}^{\pi/2} 1 \, d\theta = \frac{\pi}{2},\quad \int_{0}^{\pi/2} \cos2\theta \, d\theta = 0 $$ $$ \int_{0}^{\pi/2} \cos^2 2\theta \, d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos4\theta}{2} d\theta = \frac{1}{2} \cdot \frac{\pi}{2} + 0 = \frac{\pi}{4} $$ 所以： $$ \int_{0}^{\pi/2} \sin^4\theta \, d\theta = \frac{1}{4} \left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} \right) = \frac{1}{4} \cdot \frac{3\pi}{4} = \frac{3\pi}{16} $$

因此： $$ \iint_{\Sigma} x^3 \, dS = a^5 \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{3\pi}{16} = a^5 \cdot \frac{\pi}{8} $$

代回流量公式： $$ \Phi = \frac{3}{a} \cdot \frac{\pi a^5}{8} = \frac{3\pi a^4}{8} $$

因此，所求流量为： $$ \boxed{\dfrac{3\pi a^{4}}{8}} $$

难度：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/7
目标：写出流量公式
流量公式为 Φ = ∬_Σ v·n dS，其中 n 为指定侧的单位法向量，这里取外侧。
公式：Φ = ∬_Σ v·n dS
提示：注意曲面是球面第一卦限部分，外侧法向量方向与位置向量相同。
步骤 2/7
目标：确定法向量并计算被积函数
球面外侧法向量 n = (x i + y j + z k)/a，所以 v·n = (x^3 + y^3 + z^3)/a。
公式：n = (x i + y j + z k)/a, v·n = (x^3 + y^3 + z^3)/a
提示：注意 a 是球半径。
步骤 3/7
目标：利用对称性简化积分
在第一卦限球面上，x, y, z 对称，所以 ∬_Σ x^3 dS = ∬_Σ y^3 dS = ∬_Σ z^3 dS，因此 Φ = (3/a) ∬_Σ x^3 dS。
公式：Φ = (3/a) ∬_Σ x^3 dS
提示：对称性可简化计算。
步骤 4/7
目标：采用球坐标计算积分
球坐标：x = a sinθ cosφ, y = a sinθ sinφ, z = a cosθ，第一卦限：0≤θ≤π/2, 0≤φ≤π/2，面积元 dS = a^2 sinθ dθ dφ。代入得 ∬_Σ x^3 dS = ∫_{0}^{π/2}∫_{0}^{π/2} (a sinθ cosφ)^3 * a^2 sinθ dθ dφ = a^5 ∫_{0}^{π/2} cos^3φ dφ ∫_{0}^{π/2} sin^4θ dθ。
公式：dS = a^2 sinθ dθ dφ, ∬_Σ x^3 dS = a^5 ∫ cos^3φ dφ ∫ sin^4θ dθ
提示：注意积分限对应第一卦限。
步骤 5/7
目标：计算积分 ∫ cos^3φ dφ
∫_{0}^{π/2} cos^3φ dφ = ∫_{0}^{π/2} cosφ (1 - sin^2φ) dφ，令 u = sinφ，则 du = cosφ dφ，积分变为 ∫_{0}^{1} (1 - u^2) du = [u - u^3/3]_0^1 = 2/3。
公式：∫ cos^3φ dφ = 2/3
提示：使用换元法。
步骤 6/7
目标：计算积分 ∫ sin^4θ dθ
∫_{0}^{π/2} sin^4θ dθ = ∫_{0}^{π/2} ((1 - cos2θ)/2)^2 dθ = (1/4)∫_{0}^{π/2} (1 - 2cos2θ + cos^2 2θ) dθ。其中 ∫ 1 dθ = π/2，∫ cos2θ dθ = 0，∫ cos^2 2θ dθ = ∫ (1+cos4θ)/2 dθ = π/4。所以积分 = (1/4)(π/2 + π/4) = 3π/16。
公式：∫ sin^4θ dθ = 3π/16
提示：使用倍角公式降幂。
步骤 7/7
目标：计算 ∬_Σ x^3 dS 并代回流量公式
∬_Σ x^3 dS = a^5 * (2/3) * (3π/16) = π a^5 / 8。所以 Φ = (3/a) * (π a^5 / 8) = 3π a^4 / 8。
公式：Φ = 3π a^4 / 8
提示：注意单位。

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