人邮高数 第7章 第7-5-9题
📝 题目
9．求 $\displaystyle{\iint}_{\Sigma} 2\left(1-x^{2}\right) \mathrm{d} y \mathrm{~d} z+8 x y \mathrm{~d} z \mathrm{~d} x-4 x z \mathrm{~d} x \mathrm{~d} y$ ，其中 $\displaystyle{\sum}$ 是曲线 $x=\mathrm{e}^{y}(0 \leqslant y \leqslant a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。
💡 答案解析
[AI解答]
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本题要求计算第二类曲面积分 $$ \iint_{\Sigma} 2(1-x^{2}) \, \mathrm{d}y\mathrm{d}z + 8xy \, \mathrm{d}z\mathrm{d}x - 4xz \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 其中 $\Sigma$ 是由曲线 $x = e^{y} \ (0 \le y \le a)$ 绕 $x$ 轴旋转而成的旋转曲面的外侧。
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**第一步：明确曲面形状与方向**
曲线 $x = e^{y}$ 在 $xy$ 平面上，绕 $x$ 轴旋转，得到旋转曲面。 对于固定的 $x$，有 $y = \ln x$，而旋转半径 $r = y = \ln x$，因此曲面方程可写为 $$ y^2 + z^2 = (\ln x)^2, \quad 1 \le x \le e^{a}. $$ 曲面外侧指法向量指向远离旋转轴（即 $x$ 轴）的方向。
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**第二步：使用高斯公式**
记向量场 $$ \mathbf{F} = (P, Q, R) $$ 其中 $$ P = 2(1-x^2),\quad Q = 8xy,\quad R = -4xz. $$ 由高斯公式（散度定理）： $$ \iint_{\Sigma} P\,\mathrm{d}y\mathrm{d}z + Q\,\mathrm{d}z\mathrm{d}x + R\,\mathrm{d}x\mathrm{d}y = \iiint_{V} \left( \frac{\partial P}{\partial x} + \frac{\partial Q}{\partial y} + \frac{\partial R}{\partial z} \right) \mathrm{d}V, $$ 其中 $V$ 是曲面 $\Sigma$ 所围成的空间区域。
计算散度： $$ \frac{\partial P}{\partial x} = -4x,\quad \frac{\partial Q}{\partial y} = 8x,\quad \frac{\partial R}{\partial z} = -4x. $$ 相加得： $$ \nabla \cdot \mathbf{F} = -4x + 8x - 4x = 0. $$
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**第三步：结论**
散度恒为零，因此由高斯公式： $$ \iint_{\Sigma} \cdots = \iiint_{V} 0 \, \mathrm{d}V = 0. $$
注意：这里曲面是封闭的（旋转曲面加上两端圆盘？需要检查）。 曲线 $x = e^{y}$ 在 $0 \le y \le a$ 上，旋转后得到的是侧面，两端分别对应 $x=1$ 和 $x=e^{a}$ 处的圆盘。题目说“旋转曲面的外侧”，通常指整个封闭曲面（侧面+两端盖），但若只给旋转曲面本身，则不是封闭曲面。 然而，高斯公式要求封闭曲面。此处若只考虑旋转曲面（无底和顶），则不能直接使用高斯公式，需补面。
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**第四步：补面并用高斯公式**
补上两个圆盘： - $\Sigma_1$：$x=1$ 处，$y^2+z^2 \le 0$？实际上当 $x=1$ 时，$\ln 1 = 0$，所以该处缩为一点，可不考虑。 - $\Sigma_2$：$x=e^{a}$ 处，圆盘 $y^2+z^2 \le a^2$，法向朝外即 $x$ 正向。
因此封闭曲面为 $\Sigma \cup \Sigma_2$（方向取外侧）。 由高斯公式： $$ \iint_{\Sigma} + \iint_{\Sigma_2} = \iiint_V 0 \, dV = 0, $$ 所以 $$ \iint_{\Sigma} = -\iint_{\Sigma_2}. $$
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**第五步：计算 $\Sigma_2$ 上的积分**
在 $\Sigma_2$ 上，$x = e^{a}$ 常数，且法向为 $(1,0,0)$，因此 $$ \mathrm{d}y\mathrm{d}z = \mathrm{d}S,\quad \mathrm{d}z\mathrm{d}x = 0,\quad \mathrm{d}x\mathrm{d}y = 0. $$ 被积表达式只剩第一项： $$ \iint_{\Sigma_2} 2(1 - x^2) \,\mathrm{d}y\mathrm{d}z = 2(1 - e^{2a}) \iint_{y^2+z^2 \le a^2} \mathrm{d}y\mathrm{d}z. $$ 圆盘面积为 $\pi a^2$，因此： $$ \iint_{\Sigma_2} = 2(1 - e^{2a}) \cdot \pi a^2. $$
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**第六步：得到原积分结果**
$$ \iint_{\Sigma} = - 2\pi a^2 (1 - e^{2a}) = 2\pi a^2 (e^{2a} - 1). $$
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**最终答案：** $$ \boxed{2\pi a^{2}(e^{2a} - 1)} $$
难度评级：★★★☆☆ （需注意曲面封闭性并补面计算，涉及高斯公式与圆盘积分）