人邮高数 第1章 第1-7-4题
📝 题目
4．设函数
$$ f(x)= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}, & x\lt 0 \\ a+x, & x \geqslant 0\end{cases} $$
应选择什么样的常数 $a$ ，使得 $f(x)$ 成为在 $(-\infty,+\infty)$ 内的连续函数？
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
要使函数 $f(x)$ 在 $(-\infty, +\infty)$ 内连续，只需检查分段点 $x=0$ 处的连续性，因为指数函数和一次函数在其定义区间内都是连续的。
在 $x=0$ 处，需要满足： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) $$
计算左极限： $$ \lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^-} e^{x} = e^{0} = 1 $$
计算右极限： $$ \lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} (a + x) = a + 0 = a $$
函数在 $x=0$ 处的值为： $$ f(0) = a + 0 = a $$
由连续条件： $$ 1 = a $$
因此，当 $a = 1$ 时，$f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，从而在整个实数轴上连续。
**答案：** $a = 1$
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：确定连续条件
函数在分段点x=0处连续的条件是左极限等于右极限等于函数值。
公式：\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0)
步骤 2/4
目标：计算左极限
当x<0时，f(x)=e^x，所以左极限为e^0=1。
公式：\lim_{x \to 0^-} e^x = 1
步骤 3/4
目标：计算右极限和函数值
当x≥0时，f(x)=a+x，所以右极限为a+0=a，函数值f(0)=a。
公式：\lim_{x \to 0^+} (a+x) = a, \quad f(0)=a
步骤 4/4
目标：建立方程并求解
由连续条件得1=a，所以a=1。
公式：1 = a
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