人邮高数 第8章 第8-1-2题
📝 题目
2．写出级数的一般项． （1）$\displaystyle \frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\frac{1}{4 \ln 4}+\cdots$ ； （2）$\displaystyle \frac{1+1}{1+2}+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+2^{3}}+\cdots$ ； （3）$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{4}{17}+\cdots$ ； （4）$\displaystyle \frac{1}{1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}+\cdots$ ； （5） $\displaystyle 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots$ ； （6）$\displaystyle \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots$ ； （7） $\displaystyle 1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots$ ； （8）$\displaystyle \frac{1}{2}+\frac{3}{2 \cdot 4}+\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
以下为各小题级数一般项的推导，均以 $n$ 表示项数序号，通常从 $n=1$ 开始。
---
### （1） $$ \frac{1}{2 \ln 2}+\frac{1}{3 \ln 3}+\frac{1}{4 \ln 4}+\cdots $$ 观察分母：第一个分母为 $2\ln 2$，第二个为 $3\ln 3$，第三个为 $4\ln 4$，可见第 $n$ 项分母为 $(n+1)\ln(n+1)$。 一般项： $$ u_n = \frac{1}{(n+1)\ln(n+1)},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （2） $$ \frac{1+1}{1+2}+\frac{1+2}{1+2^{2}}+\frac{1+3}{1+2^{3}}+\cdots $$ 分子：第1项分子 $1+1$，第2项分子 $1+2$，第3项分子 $1+3$，故第 $n$ 项分子为 $1+n$。 分母：第1项分母 $1+2^1$，第2项分母 $1+2^2$，第3项分母 $1+2^3$，故第 $n$ 项分母为 $1+2^n$。 一般项： $$ u_n = \frac{1+n}{1+2^n},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （3） $$ \frac{1}{2}+\frac{2}{5}+\frac{3}{10}+\frac{4}{17}+\cdots $$ 分子依次为 $1,2,3,4,\dots$，故第 $n$ 项分子为 $n$。 分母：$2,5,10,17,\dots$，观察规律： $2=1^2+1,\quad 5=2^2+1,\quad 10=3^2+1,\quad 17=4^2+1$，故第 $n$ 项分母为 $n^2+1$。 一般项： $$ u_n = \frac{n}{n^2+1},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （4） $$ \frac{1}{1}+\frac{1}{5}+\frac{1}{9}+\frac{1}{13}+\cdots $$ 分母：$1,5,9,13,\dots$，此为等差数列，首项1，公差4，故第 $n$ 项分母为 $1+4(n-1)=4n-3$。 一般项： $$ u_n = \frac{1}{4n-3},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （5） $$ 1-\frac{1}{2^{2}}+\frac{1}{3^{2}}-\frac{1}{4^{2}}+\cdots $$ 符号规律：正、负、正、负……即 $(-1)^{n-1}$。 分母：$1^2,2^2,3^2,4^2,\dots$，故第 $n$ 项分母为 $n^2$。 一般项： $$ u_n = \frac{(-1)^{n-1}}{n^{2}},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （6） $$ \frac{1}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1}{2 \cdot 3 \cdot 4}+\frac{1}{3 \cdot 4 \cdot 5}+\cdots $$ 第1项分母为 $1\cdot2\cdot3$，第2项为 $2\cdot3\cdot4$，第3项为 $3\cdot4\cdot5$，故第 $n$ 项分母为 $n(n+1)(n+2)$。 一般项： $$ u_n = \frac{1}{n(n+1)(n+2)},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （7） $$ 1+\frac{1 \cdot 3}{1 \cdot 2}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5}{1 \cdot 2 \cdot 3}+\frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7}{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4}+\cdots $$ 第1项视为 $\frac{1}{1}$（分子只有1，分母只有1）。 分子为奇数连乘：第 $n$ 项分子为 $1\cdot3\cdot5\cdots(2n-1)$，即 $(2n-1)!!$。 分母为 $n!$。 一般项： $$ u_n = \frac{(2n-1)!!}{n!},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
### （8） $$ \frac{1}{2}+\frac{3}{2 \cdot 4}+\frac{5}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\frac{7}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot 8}+\cdots $$ 分子：第1项分子1，第2项分子3，第3项分子5，第4项分子7，故第 $n$ 项分子为 $2n-1$。 分母：第1项分母 $2$，第2项分母 $2\cdot4$，第3项分母 $2\cdot4\cdot6$，第4项分母 $2\cdot4\cdot6\cdot8$，即第 $n$ 项分母为 $2\cdot4\cdot6\cdots(2n)=2^n n!$。 一般项： $$ u_n = \frac{2n-1}{2^n n!},\quad n=1,2,3,\dots $$
---
**难度评级**：★☆☆☆☆ （均为观察数列规律写出通项，属于基础题）