人邮高数 第8章 第8-2-11题
📝 题目
11．设正项数列 $\left\{a_{n}\right\}$ 单调减少且级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} a_{n}$ 发散，试问级数 $\displaystyle{\sum}_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_{n}+1}\right)^{n}$ 是否收敛？并说明理由。
💡 答案解析
[AI解答]
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**解题步骤：**
1. 已知正项数列 $\{a_n\}$ 单调减少，即 $$ a_1 \ge a_2 \ge a_3 \ge \cdots \ge a_n \ge \cdots > 0. $$
2. 级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n a_n}$ 发散。 对于交错级数 $\sum (-1)^n a_n$，如果满足莱布尼茨判别法的条件（即 $a_n$ 单调减少趋于 0），则级数收敛。现在该级数发散，因此它必定不满足莱布尼茨条件，而唯一可能破坏的条件是 $$ \lim_{n\to\infty} a_n \neq 0. $$ 由于数列单调减少且有下界 0，极限存在，记 $$ \lim_{n\to\infty} a_n = L \ge 0. $$ 若 $L=0$，则莱布尼茨条件成立，级数收敛，与发散矛盾。因此必有 $$ L > 0. $$
3. 于是存在某个正数 $c>0$ 及正整数 $N$，使得当 $n>N$ 时， $$ a_n \ge c > 0. $$
4. 考虑级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} \left( \frac{1}{a_n+1} \right)^n}$。 当 $n$ 充分大时，有 $$ \frac{1}{a_n+1} \le \frac{1}{c+1} < 1. $$ 记 $q = \frac{1}{c+1} \in (0,1)$，则从某项起 $$ \left( \frac{1}{a_n+1} \right)^n \le q^n. $$
5. 几何级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} q^n}$ 当 $0 **结论：** 级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{a_n+1}\right)^{n}}$ 收敛。 **难度评级：** ★★★☆☆