人邮高数 第8章 第8-2-9题

[AI解答]

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**题目** 设 $\displaystyle{\lim_{n \to \infty} \frac{\ln \frac{1}{a_n}}{\ln n} = q} \quad (a_n > 0)$，证明级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 当 $q > 1$ 时收敛，当 $q < 1$ 时发散。

**证明** 由已知极限条件： $$ \lim_{n\to\infty} \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} = q. $$ 对于任意给定的 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n > N$ 时，有 $$ q - \varepsilon < \frac{\ln(1/a_n)}{\ln n} < q + \varepsilon. $$ 由于 $\ln n > 0$（当 $n \ge 2$），两边乘以 $\ln n$ 得 $$ (q - \varepsilon)\ln n < \ln\frac{1}{a_n} < (q + \varepsilon)\ln n. $$ 即 $$ \ln n^{-(q-\varepsilon)} < \ln\frac{1}{a_n} < \ln n^{-(q+\varepsilon)}. $$ 利用对数函数的单调性，可得 $$ n^{-(q-\varepsilon)} < \frac{1}{a_n} < n^{-(q+\varepsilon)}. $$ 取倒数（注意 $a_n > 0$），不等号方向反转： $$ n^{q+\varepsilon} > \frac{1}{a_n} > n^{q-\varepsilon} \quad\Rightarrow\quad n^{-(q+\varepsilon)} < a_n < n^{-(q-\varepsilon)}. $$

**情况1：$q > 1$** 取 $\varepsilon = \frac{q-1}{2} > 0$，则 $q - \varepsilon = \frac{q+1}{2} > 1$。 于是当 $n$ 充分大时，有 $$ 0 < a_n < n^{-(q-\varepsilon)} = n^{-\frac{q+1}{2}}. $$ 而级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\frac{q+1}{2}}}$ 是 $p$-级数，且 $p = \frac{q+1}{2} > 1$，因此收敛。由比较判别法，$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 收敛。

**情况2：$q < 1$** 取 $\varepsilon = \frac{1-q}{2} > 0$，则 $q + \varepsilon = \frac{q+1}{2} < 1$。 于是当 $n$ 充分大时，有 $$ a_n > n^{-(q+\varepsilon)} = n^{-\frac{q+1}{2}}. $$ 而级数 $\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} n^{-\frac{q+1}{2}}}$ 是 $p$-级数，且 $p = \frac{q+1}{2} < 1$，因此发散。由比较判别法，$\displaystyle{\sum_{n=1}^{\infty} a_n}$ 发散。

**结论** 当 $q > 1$ 时级数收敛，当 $q < 1$ 时级数发散。 （当 $q = 1$ 时，本判别法无法确定，需其他方法。）

**难度评级**：★★★☆☆