人邮高数 第2章 第2-1-10题
📝 题目
10．求曲线 $y=x^{3}+x$ 上，其切线与直线 $y=4 x$ 平行的点．
💡 答案解析
[AI解答]
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**解**： 曲线方程为 $$y = x^{3} + x$$ 先求其导数，得到切线斜率函数： $$y' = \displaystyle{}\frac{d}{dx}(x^{3}+x) = 3x^{2} + 1$$
已知直线 $y = 4x$ 的斜率为 $4$。 因为切线与该直线平行，所以切线的斜率等于 $4$，即 $$3x^{2} + 1 = 4$$
解方程： $$3x^{2} = 3$$ $$x^{2} = 1$$ $$x = \pm 1$$
分别代入原曲线方程求对应的纵坐标：
当 $x = 1$ 时， $$y = 1^{3} + 1 = 2$$ 得点 $(1, 2)$。
当 $x = -1$ 时， $$y = (-1)^{3} + (-1) = -1 - 1 = -2$$ 得点 $(-1, -2)$。
因此，所求点为 $$\boxed{(1,2)\ \text{和}\ (-1,-2)}$$
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：求曲线导数
对曲线方程 y = x^3 + x 求导，得到 y' = 3x^2 + 1。
公式：y' = 3x^2 + 1
提示：幂函数求导公式：d/dx(x^n) = n x^(n-1)。
步骤 2/5
目标：利用平行条件建立方程
直线 y=4x 的斜率为4，切线与该直线平行，故切线斜率等于4，即 3x^2 + 1 = 4。
公式：3x^2 + 1 = 4
提示：两直线平行时斜率相等。
步骤 3/5
目标：解方程求切点横坐标
解方程 3x^2 + 1 = 4，得 3x^2 = 3，x^2 = 1，所以 x = ±1。
公式：x^2 = 1
提示：注意平方根有正负两个解。
步骤 4/5
目标：求切点纵坐标
将 x=1 代入原曲线方程得 y=1^3+1=2；将 x=-1 代入得 y=(-1)^3+(-1)=-2。
公式：y = x^3 + x
提示：代入时注意符号。
步骤 5/5
目标：写出切点坐标
切点为 (1,2) 和 (-1,-2)。
提示：最终答案用坐标形式表示。
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