人邮高数 第2章 第2-1-6题
📝 题目
6．讨论下列函数在 $x=0$ 处的可导性： （1）$y= \begin{cases}-x, & x\lt 0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0 ;\end{cases}$ （2）$y= \begin{cases}\mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0, \\ x+2, & x\gt 0 .\end{cases}$
💡 答案解析
[AI解答]
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**习题2-1 第6题** 讨论函数在 $x=0$ 处的可导性，需要分别计算左导数与右导数，若两者存在且相等，则函数在该点可导。
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### （1） $$ y= \begin{cases} -x, & x<0, \\ x^{2}, & x \geqslant 0 . \end{cases} $$
**步骤1：计算左导数** 当 $x<0$ 时，$f(x) = -x$，且 $f(0)=0^2=0$。 左导数定义为： $$ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^-}\frac{-x-0}{x} = \lim_{x\to 0^-}(-1) = -1. $$
**步骤2：计算右导数** 当 $x>0$ 时，$f(x)=x^2$， 右导数定义为： $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x^{2}-0}{x} = \lim_{x\to 0^+} x = 0. $$
**步骤3：比较左右导数** 由于 $f'_-(0) = -1 \neq 0 = f'_+(0)$，左右导数不相等，故函数在 $x=0$ 处不可导。
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### （2） $$ y= \begin{cases} \mathrm{e}^{x}+1, & x \leqslant 0, \\ x+2, & x>0 . \end{cases} $$
**步骤1：计算左导数** 当 $x<0$ 时，$f(x)=\mathrm{e}^{x}+1$，且 $f(0)=\mathrm{e}^{0}+1=2$。 左导数： $$ f'_-(0)=\lim_{x\to 0^-}\frac{(\mathrm{e}^{x}+1)-2}{x} = \lim_{x\to 0^-}\frac{\mathrm{e}^{x}-1}{x}. $$ 利用极限 $\displaystyle\lim_{t\to 0}\frac{\mathrm{e}^{t}-1}{t}=1$，得： $$ f'_-(0)=1. $$
**步骤2：计算右导数** 当 $x>0$ 时，$f(x)=x+2$，且 $f(0)=2$。 右导数： $$ f'_+(0)=\lim_{x\to 0^+}\frac{(x+2)-2}{x} = \lim_{x\to 0^+}\frac{x}{x}=1. $$
**步骤3：比较左右导数** 左右导数均为 $1$，故函数在 $x=0$ 处可导，且导数值为 $1$。
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**最终答案：** （1）不可导； （2）可导，导数为 $1$。