人邮高数 第2章 第2-1-8题
📝 题目
8．在抛物线 $y=x^{2}$ 上取横坐标为 $x_{1}=1, x_{2}=3$ 的两点，作过这两点的割线，求抛物线上哪一点的切线平行于这条割线，并写出这条切线的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] **步骤1：确定割线的斜率** 已知抛物线为 $ y = x^{2} $，取横坐标 $ x_{1}=1 $ 和 $ x_{2}=3 $ 的两点： 点 $ A(1,1) $，点 $ B(3,9) $。
割线 $ AB $ 的斜率为 $$ k_{\text{割}} = \frac{9 - 1}{3 - 1} = \frac{8}{2} = 4. $$
**步骤2：求抛物线上切线斜率等于4的点** 抛物线 $ y = x^{2} $ 的导数为 $$ y' = 2x. $$ 令切线斜率等于割线斜率： $$ 2x = 4 \quad \Rightarrow \quad x = 2. $$ 代入抛物线方程得 $$ y = 2^{2} = 4. $$ 因此点为 $ (2,4) $。
**步骤3：写出切线方程** 切线过点 $ (2,4) $，斜率 $ k = 4 $，方程为 $$ y - 4 = 4(x - 2), $$ 化简得 $$ y = 4x - 4. $$
**最终答案**： 抛物线上点 $ (2,4) $ 处的切线平行于该割线，切线方程为 $$ \boxed{y = 4x - 4}. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定割线的斜率
已知抛物线为 y = x^2，取横坐标 x1=1 和 x2=3 的两点：点 A(1,1)，点 B(3,9)。割线 AB 的斜率为 k = (9-1)/(3-1) = 8/2 = 4。
公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)
提示：计算斜率时注意坐标对应正确。
步骤 2/3
目标：求抛物线上切线斜率等于4的点
抛物线 y = x^2 的导数为 y' = 2x。令切线斜率等于割线斜率：2x = 4，解得 x = 2。代入抛物线方程得 y = 2^2 = 4。因此点为 (2,4)。
公式：y' = 2x
提示：导数表示切线斜率，令其等于已知斜率。
步骤 3/3
目标：写出切线方程
切线过点 (2,4)，斜率 k = 4，方程为 y - 4 = 4(x - 2)，化简得 y = 4x - 4。
公式：y - y0 = k(x - x0)
提示：点斜式方程，注意化简。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。