人邮高数 第1章 第1-1-15题
📝 题目
15．试将函数 $f(x)=2|x-2|+|x-1|$ 表示成分段函数，并画出它的图像．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
**解：** 函数 $f(x)=2|x-2|+|x-1|$ 含有绝对值，需根据绝对值内部为零的点 $x=1$ 和 $x=2$ 将实数轴分成三个区间进行讨论。
1. 当 $x < 1$ 时： $x-2 < 0$，$x-1 < 0$，因此 $|x-2| = 2-x$，$|x-1| = 1-x$。 于是 $$f(x) = 2(2-x) + (1-x) = 4 - 2x + 1 - x = 5 - 3x.$$
2. 当 $1 \le x < 2$ 时： $x-2 < 0$，$x-1 \ge 0$，因此 $|x-2| = 2-x$，$|x-1| = x-1$。 于是 $$f(x) = 2(2-x) + (x-1) = 4 - 2x + x - 1 = 3 - x.$$
3. 当 $x \ge 2$ 时： $x-2 \ge 0$，$x-1 \ge 0$，因此 $|x-2| = x-2$，$|x-1| = x-1$。 于是 $$f(x) = 2(x-2) + (x-1) = 2x - 4 + x - 1 = 3x - 5.$$
综上，分段函数表示为： $$ f(x) = \begin{cases} 5 - 3x, & x < 1, \$$3pt] 3 - x, & 1 \le x < 2, \$$3pt] 3x - 5, & x \ge 2. \end{cases} $$
**图像说明：** - 在 $(-\infty, 1)$ 上，为斜率为 $-3$、截距为 $5$ 的直线段（在 $x=1$ 处取值为 $2$，但该点属于下一段）。 - 在 $[1,2)$ 上，为斜率为 $-1$、截距为 $3$ 的直线段（在 $x=1$ 处值为 $2$，在 $x=2$ 处值为 $1$，但 $x=2$ 属于下一段）。 - 在 $[2, +\infty)$ 上，为斜率为 $3$、截距为 $-5$ 的射线（在 $x=2$ 处值为 $1$）。
图像整体是三条直线段拼接而成，在 $x=1$ 处连续（左右值均为 $2$），在 $x=2$ 处也连续（左右值均为 $1$），因此函数在全体实数上连续。