人邮高数 第2章 第2-2-1题

教材习题

📝 题目

1．选择题： （1）设 $y=f(-2 x)$ ，则 $y^{\prime}=(\quad)$ ； A．$f^{\prime}(2 x)$ B．$-f^{\prime}(-2 x)$ C．$f^{\prime}(-2 x)$ D．$-2 f^{\prime}(-2 x)$ （2）设 $f(x)=\arctan \mathrm{e}^{x}$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ ； A．$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ B．$\displaystyle \frac{1}{1+\mathrm{e}^{2 x}}$ C．$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{2 x}}}$ D．$\displaystyle \frac{\mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1-\mathrm{e}^{2 x}}}$ （3）设 $y=\ln x$ ，则 $y^{\prime \prime}=($ ； A．$\displaystyle \frac{1}{x}$ B．$\displaystyle -\frac{1}{x^{2}}$ C．$\displaystyle \frac{1}{x^{2}}$ D．$\displaystyle -\frac{2}{x}$ （4）设 $f(x)=x^{3}-x^{2}+x+1$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ ； A． 0 B． 1 C． 2 D．-2 （5）设 $y=x^{n}+\mathrm{e}^{x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ； A． $\mathrm{e}^{x}$ B．$n!$ C．$n!+n \mathrm{e}^{x}$ D．$n!+\mathrm{e}^{x}$ （6）设 $y=\mathrm{e}^{a x}$ ，则 $y^{(n)}=$ ． A．$a \mathrm{e}^{a x}$ B．$a^{n} \mathrm{e}^{a x}$ C． $\mathrm{e}^{a x}$ D．$a^{2} \mathrm{e}^{a x}$

💡 答案解析

[AI解答]

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**习题2-2 选择题解答**

（1）设 $y=f(-2x)$，则 $y'$ 由复合函数求导法则： $$ y' = f'(-2x) \cdot (-2x)' = f'(-2x) \cdot (-2) = -2 f'(-2x) $$ 故选项为 **D**。

（2）设 $f(x)=\arctan(\mathrm{e}^x)$，则 $$ f'(x) = \frac{1}{1+(\mathrm{e}^x)^2} \cdot (\mathrm{e}^x)' = \frac{\mathrm{e}^x}{1+\mathrm{e}^{2x}} $$ 故选项为 **A**。

（3）设 $y=\ln x$，则 $$ y' = \frac{1}{x}, \quad y'' = -\frac{1}{x^2} $$ 故选项为 **B**。

（4）设 $f(x)=x^3 - x^2 + x + 1$，则 $$ f'(x) = 3x^2 - 2x + 1, \quad f''(x) = 6x - 2 $$ 代入 $x=0$ 得 $f''(0) = -2$，故选项为 **D**。

（5）设 $y = x^n + \mathrm{e}^x$，则 - $x^n$ 的 $n$ 阶导数为 $n!$（因为每求一次导降一次幂，$n$ 次后为常数 $n!$，再求导为0） - $\mathrm{e}^x$ 的任意阶导数仍是 $\mathrm{e}^x$ 所以 $$ y^{(n)} = n! + \mathrm{e}^x $$ 故选项为 **D**。

（6）设 $y = \mathrm{e}^{ax}$，则 $$ y' = a \mathrm{e}^{ax}, \quad y'' = a^2 \mathrm{e}^{ax}, \quad \dots, \quad y^{(n)} = a^n \mathrm{e}^{ax} $$ 故选项为 **B**。

**最终答案** （1）D （2）A （3）B （4）D （5）D （6）B

📋 详细解题步骤

步骤 1/6
目标：求解第(1)题：y=f(-2x)的导数
使用复合函数求导法则：y' = f'(-2x) * (-2x)' = f'(-2x) * (-2) = -2 f'(-2x)。
公式：复合函数求导：dy/dx = f'(u) * u'，其中 u = -2x
提示：注意内层函数求导后要乘以外层导数。
步骤 2/6
目标：求解第(2)题：f(x)=arctan(e^x)的导数
f'(x) = 1/(1+(e^x)^2) * (e^x)' = e^x/(1+e^{2x})。
公式：arctan u 的导数：1/(1+u^2) * u'
提示：注意 e^x 的导数是 e^x。
步骤 3/6
目标：求解第(3)题：y=ln x的二阶导数
y' = 1/x，y'' = -1/x^2。
公式：ln x 的导数：1/x；幂函数求导：x^{-1} 的导数为 -x^{-2}
提示：二阶导数是导数的导数。
步骤 4/6
目标：求解第(4)题：f(x)=x^3-x^2+x+1在x=0处的二阶导数
f'(x)=3x^2-2x+1，f''(x)=6x-2，代入x=0得f''(0)=-2。
公式：多项式求导：逐项求导
提示：注意常数项导数为0。
步骤 5/6
目标：求解第(5)题：y=x^n+e^x的n阶导数
x^n的n阶导数为n!，e^x的n阶导数为e^x，所以y^{(n)}=n!+e^x。
公式：幂函数的高阶导数：d^n/dx^n (x^n) = n!；指数函数的高阶导数：d^n/dx^n (e^x) = e^x
提示：n阶导数后，x^n变为常数n!，再求导为0。
步骤 6/6
目标：求解第(6)题：y=e^{ax}的n阶导数
y' = a e^{ax}，y'' = a^2 e^{ax}，...，y^{(n)} = a^n e^{ax}。
公式：指数函数的高阶导数：d^n/dx^n (e^{ax}) = a^n e^{ax}
提示：每求一次导乘一个a。

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