人邮高数 第2章 第2-2-11题

[AI解答]

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已知方程 $$ \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}=x y $$ 确定 $y$ 是 $x$ 的函数。要求 $\displaystyle \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0}$。

**步骤1：确定 $x=0$ 时对应的 $y$ 值。** 将 $x=0$ 代入原方程： $$ \mathrm{e}^{0}-\mathrm{e}^{y}=0 \cdot y \quad\Rightarrow\quad 1-\mathrm{e}^{y}=0 $$ 解得 $\mathrm{e}^{y}=1$，即 $y=0$。 所以对应点为 $(0,0)$。

**步骤2：对方程两边关于 $x$ 求导（隐函数求导）。** 注意 $y$ 是 $x$ 的函数，因此 $\mathrm{e}^{y}$ 的导数为 $\mathrm{e}^{y}\cdot y'$。 对原方程两边求导： $$ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\big(\mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}\big)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x y) $$ 得到： $$ \mathrm{e}^{x}-\mathrm{e}^{y}\cdot y' = y + x\cdot y' $$

**步骤3：整理并解出 $y'$。** 将含有 $y'$ 的项移到一边： $$ -\mathrm{e}^{y} y' - x y' = y - \mathrm{e}^{x} $$ 即 $$ -(\mathrm{e}^{y}+x) y' = y - \mathrm{e}^{x} $$ 所以 $$ y' = \frac{\mathrm{e}^{x} - y}{\mathrm{e}^{y}+x} $$

**步骤4：代入 $x=0, y=0$。** $$ \left.\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}\right|_{x=0} = \frac{\mathrm{e}^{0} - 0}{\mathrm{e}^{0}+0} = \frac{1}{1}=1 $$

因此，所求导数值为 $$ \boxed{1} $$