人邮高数 第1章 第1-1-3题
📝 题目
3．设 $A, B$ 都是集合 $U=\{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$ 的子集，且 $A^{C} \cap B^{C}=\{1,3,7,9\}$ ，试求 $A \cup B$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
已知全集 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，且 $A^{C} \cap B^{C} = \{1,3,7,9\}$。
由德摩根定律（De Morgan's laws）可知： $$ A^{C} \cap B^{C} = (A \cup B)^{C} $$ 因此有： $$ (A \cup B)^{C} = \{1,3,7,9\} $$ 于是，$A \cup B$ 就是全集中去掉 $(A \cup B)^{C}$ 中的元素，即： $$ A \cup B = U \setminus (A \cup B)^{C} = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \setminus \{1,3,7,9\} $$ 计算得到： $$ A \cup B = \{2,4,5,6,8\} $$
**答案**：$\{2,4,5,6,8\}$
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：应用德摩根定律
由德摩根定律，$A^C \cap B^C = (A \cup B)^C$，因此 $(A \cup B)^C = \{1,3,7,9\}$。
公式：$A^C \cap B^C = (A \cup B)^C$
提示：注意补集运算的转换。
步骤 2/2
目标：求并集
全集 $U = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\}$，则 $A \cup B = U \setminus (A \cup B)^C = \{1,2,3,4,5,6,7,8,9\} \setminus \{1,3,7,9\} = \{2,4,5,6,8\}$。
公式：$A \cup B = U \setminus (A \cup B)^C$
提示：补集运算后取差集。
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