人邮高数 第2章 第2-2-*20题
📝 题目
＊20．一飞机在离地面 2 km 的高度，以每小时 200 km 的速度水平飞行到某目标上空，以便进行航空摄影，试求飞机至该目标正上方时摄影机转动的角速度。
💡 答案解析
[AI解答]
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**解** 设飞机在高度 $h=2\,\text{km}$ 处水平飞行，水平速度为 $v=200\,\text{km/h}$。 以目标正下方的地面点为原点 $O$，飞机水平方向位移为 $x(t)$，则飞机到目标的连线与铅垂线之间的夹角记为 $\theta(t)$，如图（略）。
由几何关系： $$ \tan\theta(t) = \frac{x(t)}{h}. $$
对时间 $t$ 求导，注意 $h$ 为常数： $$ \sec^2\theta \cdot \frac{d\theta}{dt} = \frac{1}{h}\cdot\frac{dx}{dt}. $$
已知水平速度 $\displaystyle\frac{dx}{dt}=v$，且当飞机位于目标正上方时，$x=0$，此时 $\theta=0$，$\sec^2 0 = 1$。代入上式得： $$ 1 \cdot \left.\frac{d\theta}{dt}\right|_{x=0} = \frac{v}{h}. $$
因此所求角速度大小为： $$ \omega = \frac{d\theta}{dt} = \frac{v}{h} = \frac{200}{2} = 100\ \text{rad/h}. $$
若化为常用单位（弧度每秒）： $$ \omega = \frac{100}{3600} = \frac{1}{36}\ \text{rad/s} \approx 0.0278\ \text{rad/s}. $$
**答案**：飞机至目标正上方时摄影机转动的角速度为 $\displaystyle \frac{v}{h}=100\ \text{rad/h}$（或 $\frac{1}{36}\ \text{rad/s}$）。