同济高数 第7章 第7-4-3题
📝 题目
3．若曲线通过原点，并且它在点 $(x, y)$ 处的切线斜率等于 $2 x+y$ ，求这曲线的方程．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 设曲线方程为 $y = y(x)$，已知曲线过原点，即 $y(0) = 0$。 由题意，在点 $(x, y)$ 处的切线斜率为 $2x + y$，因此有微分方程：
$$ \frac{dy}{dx} = 2x + y $$
这是一阶线性微分方程，将其写成标准形式：
$$ \frac{dy}{dx} - y = 2x $$
对应的齐次方程 $\frac{dy}{dx} - y = 0$ 的通解为：
$$ y_h = C e^{x} $$
使用常数变易法，设非齐次方程的解为 $y = u(x) e^{x}$，代入原方程：
$$ \frac{dy}{dx} = u'(x) e^{x} + u(x) e^{x} $$
代入 $\frac{dy}{dx} - y = 2x$ 得：
$$ u'(x) e^{x} + u(x) e^{x} - u(x) e^{x} = 2x $$
即：
$$ u'(x) e^{x} = 2x $$
所以：
$$ u'(x) = 2x e^{-x} $$
积分得：
$$ u(x) = \displaystyle{\int 2x e^{-x} \, dx} $$
用分部积分法，令 $u_1 = 2x$，$dv = e^{-x} dx$，则 $du_1 = 2 dx$，$v = -e^{-x}$：
$$ \displaystyle{\int 2x e^{-x} dx} = -2x e^{-x} - \displaystyle{\int (-2 e^{-x}) dx} = -2x e^{-x} + 2 \displaystyle{\int e^{-x} dx} $$
$$ = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C $$
因此：
$$ u(x) = -2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C $$
于是原方程通解为：
$$ y = u(x) e^{x} = (-2x e^{-x} - 2 e^{-x} + C) e^{x} = -2x - 2 + C e^{x} $$
利用初始条件 $y(0) = 0$，代入得：
$$ 0 = -2 \cdot 0 - 2 + C \cdot 1 \quad\Rightarrow\quad C = 2 $$
因此所求曲线方程为：
$$ \boxed{y = 2 e^{x} - 2x - 2} $$
难度：★★☆☆☆