同济高数 第7章 第7-4-5题
📝 题目
5．设有一个由电阻 $R=10 \Omega$ 、电感 $L=2 \mathrm{H}$ 和电源电压 $E=20 \sin 5 t \mathrm{~V}$ 串联组成的电路．开关 S 合上后，电路中有电流通过．求电流 $i$ 与时间 $t$ 的函数关系．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
这是一个典型的RL串联电路问题，电源电压为交流电压 $E(t)=20\sin 5t$。由基尔霍夫电压定律，电路方程是：
$$ L\frac{di}{dt} + Ri = E(t) $$
代入已知数值 $L=2\,\mathrm{H}$，$R=10\,\Omega$，$E(t)=20\sin 5t$，得到：
$$ 2\frac{di}{dt} + 10i = 20\sin 5t $$
两边同时除以2：
$$ \frac{di}{dt} + 5i = 10\sin 5t $$
这是一个一阶线性非齐次微分方程，标准形式为：
$$ \frac{di}{dt} + P(t)i = Q(t) $$
其中 $P(t)=5$，$Q(t)=10\sin 5t$。
**第一步：求齐次方程的通解**
齐次方程：
$$ \frac{di}{dt} + 5i = 0 $$
分离变量：
$$ \frac{di}{i} = -5\,dt $$
积分得：
$$ \ln|i| = -5t + C $$
所以齐次通解为：
$$ i_h = C_1 e^{-5t} $$
**第二步：用待定系数法求非齐次方程的特解**
由于自由项为 $10\sin 5t$，设特解形式为：
$$ i_p = A\cos 5t + B\sin 5t $$
求导：
$$ \frac{di_p}{dt} = -5A\sin 5t + 5B\cos 5t $$
代入原方程：
$$ (-5A\sin 5t + 5B\cos 5t) + 5(A\cos 5t + B\sin 5t) = 10\sin 5t $$
整理 $\sin 5t$ 和 $\cos 5t$ 的系数：
对于 $\sin 5t$：
$$ -5A + 5B = 10 $$
对于 $\cos 5t$：
$$ 5B + 5A = 0 $$
由第二式得 $A = -B$，代入第一式：
$$ -5(-B) + 5B = 5B + 5B = 10B = 10 \quad\Rightarrow\quad B = 1 $$
于是 $A = -1$。
因此特解为：
$$ i_p = -\cos 5t + \sin 5t $$
**第三步：写出通解并利用初始条件**
电路初始时开关刚合上，一般认为初始电流为零，即 $i(0)=0$。
通解：
$$ i(t) = i_h + i_p = C_1 e^{-5t} - \cos 5t + \sin 5t $$
代入 $t=0$，$i(0)=0$：
$$ 0 = C_1 - 1 + 0 \quad\Rightarrow\quad C_1 = 1 $$
**第四步：最终结果**
$$ \boxed{i(t) = e^{-5t} - \cos 5t + \sin 5t} $$
其中 $t\ge 0$，单位为安培。
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难度评级：★★☆☆☆ （属于一阶线性常微分方程的标准应用，计算量不大，但需掌握待定系数法处理正弦激励）