同济高数 第7章 第7-5-4题
📝 题目
4．试求 $y^{\prime \prime}=x$ 的经过点 $M(0,1)$ 且在此点与直线 $\displaystyle y=\frac{x}{2}+1$ 相切的积分曲线．
💡 答案解析
[AI解答]
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我们要求解微分方程 $$ y'' = x $$ 满足初始条件：曲线经过点 $M(0,1)$，且在 $x=0$ 处与直线 $y = \frac{x}{2} + 1$ 相切。
**第一步：确定初始条件** 曲线经过点 $M(0,1)$，即 $$ y(0) = 1 $$ 在 $x=0$ 处与直线相切，意味着在该点导数相等。直线的斜率为 $\frac{1}{2}$，所以 $$ y'(0) = \frac{1}{2} $$
**第二步：逐次积分** 由 $$ y'' = x $$ 对 $x$ 积分一次得 $$ y' = \int x \, dx = \frac{x^2}{2} + C_1 $$ 代入 $y'(0) = \frac{1}{2}$： $$ \frac{0^2}{2} + C_1 = \frac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C_1 = \frac{1}{2} $$ 所以 $$ y' = \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} $$
再积分一次： $$ y = \int \left( \frac{x^2}{2} + \frac{1}{2} \right) dx = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + C_2 $$ 代入 $y(0) = 1$： $$ 0 + 0 + C_2 = 1 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 1 $$
**第三步：写出积分曲线** 因此所求曲线为 $$ \boxed{y = \frac{x^3}{6} + \frac{x}{2} + 1} $$
**难度评级**：★☆☆☆☆ （只需两次简单积分并代入初始条件，无复杂技巧）