同济高数 第7章 第7-6-2题
📝 题目
2．验证 $y_{1}=\cos \omega x$ 及 $y_{2}=\sin \omega x$ 都是方程 $y^{\prime \prime}+\omega^{2} y=0$ 的解，并写出该方程的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
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**步骤1：验证 $y_1 = \cos \omega x$ 是解** 计算一阶导数： $$ y_1' = -\omega \sin \omega x $$ 计算二阶导数： $$ y_1'' = -\omega^2 \cos \omega x $$ 代入方程 $y'' + \omega^2 y = 0$： $$ y_1'' + \omega^2 y_1 = -\omega^2 \cos \omega x + \omega^2 \cos \omega x = 0 $$ 因此 $y_1$ 满足方程。
**步骤2：验证 $y_2 = \sin \omega x$ 是解** 一阶导数： $$ y_2' = \omega \cos \omega x $$ 二阶导数： $$ y_2'' = -\omega^2 \sin \omega x $$ 代入方程： $$ y_2'' + \omega^2 y_2 = -\omega^2 \sin \omega x + \omega^2 \sin \omega x = 0 $$ 因此 $y_2$ 也满足方程。
**步骤3：写出通解** 由于 $y_1$ 与 $y_2$ 线性无关（比值 $\displaystyle \frac{\cos \omega x}{\sin \omega x}$ 不是常数），该二阶线性齐次方程的通解为它们的线性组合： $$ y = C_1 \cos \omega x + C_2 \sin \omega x $$ 其中 $C_1, C_2$ 为任意常数。
难度：★☆☆☆☆