同济高数 第7章 第7-6-*7题
📝 题目
＊7．已知齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=0$ 的通解为 $Y(x)=C_{1} \cos x+C_{2} \sin x$ ，求非齐次线性方程 $y^{\prime \prime}+y=\sec x$的通解．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 已知齐次方程 $ y'' + y = 0 $ 的通解为 $$ Y(x) = C_1 \cos x + C_2 \sin x. $$ 对于非齐次方程 $$ y'' + y = \sec x, $$ 采用常数变易法求特解。设特解形式为 $$ y_p(x) = u_1(x) \cos x + u_2(x) \sin x, $$ 其中 $ u_1(x), u_2(x) $ 满足方程组： $$ \begin{cases} u_1' \cos x + u_2' \sin x = 0, \$$2pt] -u_1' \sin x + u_2' \cos x = \sec x. \end{cases} $$ 解此方程组： 由第一个方程得 $$ u_1' = -u_2' \tan x, $$ 代入第二个方程： $$ -(-u_2' \tan x) \sin x + u_2' \cos x = \sec x, $$ 即 $$ u_2' \tan x \sin x + u_2' \cos x = \sec x. $$ 由于 $\tan x \sin x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}$，所以 $$ u_2' \left( \frac{\sin^2 x}{\cos x} + \cos x \right) = u_2' \left( \frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x} \right) = u_2' \cdot \frac{1}{\cos x} = \sec x, $$ 因此 $$ u_2' = 1 \quad \Rightarrow \quad u_2(x) = x. $$ 再由 $ u_1' = -u_2' \tan x = -\tan x $，得 $$ u_1(x) = -\int \tan x \, dx = -\ln|\sec x| + C = \ln|\cos x| + C. $$ 取一个特解时，可令常数 $ C = 0 $，于是 $$ u_1(x) = \ln|\cos x|, \quad u_2(x) = x. $$ 因此特解为 $$ y_p(x) = \ln|\cos x| \cdot \cos x + x \sin x. $$ 所以原非齐次方程的通解为 $$ \boxed{y = C_1 \cos x + C_2 \sin x + \cos x \ln|\cos x| + x \sin x}. $$
难度：★★☆☆☆