同济高数 第7章 第7-8-2题
📝 题目
2．求下列各微分方程满足已给初值条件的特解： （1）$y^{\prime \prime}+y+\sin 2 x=0,\left.y\right|_{x=\pi}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=\pi}=1$ ； （2）$y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=2$ ； （3）$\displaystyle y^{\prime \prime}-10 y^{\prime}+9 y=\mathrm{e}^{2 x},\left.y\right|_{x=0}=\frac{6}{7},\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=\frac{33}{7}$ ； （4）$y^{\prime \prime}-y=4 x \mathrm{e}^{x},\left.y\right|_{x=0}=0,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=1$ ； （5）$y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}=5,\left.y\right|_{x=0}=1,\left.y^{\prime}\right|_{x=0}=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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以下为各小题的求解过程。
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### （1） 方程： $$ y'' + y + \sin 2x = 0 $$ 即 $$ y'' + y = -\sin 2x $$ 对应齐次方程： $$ y'' + y = 0 $$ 特征方程： $$ r^2 + 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm i $$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 \cos x + C_2 \sin x $$ 非齐次项 $-\sin 2x$，设特解形式： $$ y_p = A \cos 2x + B \sin 2x $$ 代入： $$ y_p'' = -4A\cos 2x - 4B\sin 2x $$ $$ y_p'' + y_p = (-4A + A)\cos 2x + (-4B + B)\sin 2x = -3A\cos 2x - 3B\sin 2x $$ 令等于 $-\sin 2x$，得： $$ -3A = 0,\quad -3B = -1 \quad\Rightarrow\quad A=0,\; B=\frac{1}{3} $$ 所以 $$ y_p = \frac{1}{3}\sin 2x $$ 通解： $$ y = C_1\cos x + C_2\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x $$ 由初值 $y(\pi)=1$： $$ C_1(-1) + C_2\cdot 0 + \frac{1}{3}\cdot 0 = 1 \quad\Rightarrow\quad -C_1 = 1 \Rightarrow C_1 = -1 $$ 求导： $$ y' = -C_1\sin x + C_2\cos x + \frac{2}{3}\cos 2x $$ 代入 $x=\pi$，$y'(\pi)=1$： $$ -(-1)\cdot 0 + C_2(-1) + \frac{2}{3}\cdot 1 = 1 $$ $$ - C_2 + \frac{2}{3} = 1 \quad\Rightarrow\quad -C_2 = \frac{1}{3} \Rightarrow C_2 = -\frac{1}{3} $$ 特解： $$ \boxed{y = -\cos x - \frac{1}{3}\sin x + \frac{1}{3}\sin 2x} $$
难度：★★☆☆☆
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### （2） 方程： $$ y'' - 3y' + 2y = 5 $$ 齐次特征方程： $$ r^2 - 3r + 2 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-2)=0 $$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{2x} $$ 非齐次项为常数，设特解 $y_p = A$，代入： $$ 0 - 0 + 2A = 5 \quad\Rightarrow\quad A = \frac{5}{2} $$ 通解： $$ y = C_1 e^x + C_2 e^{2x} + \frac{5}{2} $$ 初值 $y(0)=1$： $$ C_1 + C_2 + \frac{5}{2} = 1 \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = -\frac{3}{2} $$ 求导： $$ y' = C_1 e^x + 2C_2 e^{2x} $$ $y'(0)=2$： $$ C_1 + 2C_2 = 2 $$ 解方程组： $$ \begin{cases} C_1 + C_2 = -\frac{3}{2} \\ C_1 + 2C_2 = 2 \end{cases} $$ 相减得 $C_2 = \frac{7}{2}$，则 $C_1 = -5$。 特解： $$ \boxed{y = -5e^x + \frac{7}{2}e^{2x} + \frac{5}{2}} $$
难度：★★☆☆☆
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### （3） 方程： $$ y'' - 10y' + 9y = e^{2x} $$ 特征方程： $$ r^2 - 10r + 9 = 0 \quad\Rightarrow\quad (r-1)(r-9)=0 $$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{9x} $$ 设特解 $y_p = A e^{2x}$，代入： $$ (4A - 20A + 9A)e^{2x} = e^{2x} $$ $$ (-7A) = 1 \quad\Rightarrow\quad A = -\frac{1}{7} $$ 通解： $$ y = C_1 e^x + C_2 e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x} $$ 初值 $y(0)=\frac{6}{7}$： $$ C_1 + C_2 - \frac{1}{7} = \frac{6}{7} \quad\Rightarrow\quad C_1 + C_2 = 1 $$ 求导： $$ y' = C_1 e^x + 9C_2 e^{9x} - \frac{2}{7}e^{2x} $$ $y'(0)=\frac{33}{7}$： $$ C_1 + 9C_2 - \frac{2}{7} = \frac{33}{7} \quad\Rightarrow\quad C_1 + 9C_2 = 5 $$ 解方程组： $$ \begin{cases} C_1 + C_2 = 1 \\ C_1 + 9C_2 = 5 \end{cases} $$ 相减得 $8C_2 = 4 \Rightarrow C_2 = \frac{1}{2}$，则 $C_1 = \frac{1}{2}$。 特解： $$ \boxed{y = \frac{1}{2}e^x + \frac{1}{2}e^{9x} - \frac{1}{7}e^{2x}} $$
难度：★★☆☆☆
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### （4） 方程： $$ y'' - y = 4x e^x $$ 齐次特征方程： $$ r^2 - 1 = 0 \quad\Rightarrow\quad r = \pm 1 $$ 齐次通解： $$ y_h = C_1 e^x + C_2 e^{-x} $$ 非齐次项 $4x e^x$，注意到 $e^x$ 是齐次解的一部分，故设特解形式： $$ y_p = x(Ax + B)e^x = (Ax^2 + Bx)e^x $$ 计算： $$ y_p' = (2Ax + B)e^x + (Ax^2 + Bx)e^x = (Ax^2 + (2A+B)x + B)e^x $$ $$ y_p'' = (2Ax + (2A+B))e^x + (Ax^2 + (2A+B)x + B)e^x = (Ax^2 + (4A+B)x + (2A+2B))e^x $$ 代入方程： $$ y_p'' - y_p = \left[ (Ax^2 + (4A+B)x + 2A+2B) - (Ax^2 + Bx) \right] e^x = (4Ax + 2A + 2B)e^x $$ 令等于 $4x e^x$： $$ 4A = 4,\quad 2A + 2B = 0 $$ 得 $A=1,\; B=-1$。 特解： $$ y_p = (x^2 - x)e^x $$ 通解： $$ y = C_1 e^x + C_2 e^{-x} + (x^2 - x)e^x $$ 初值 $y(0)=0$： $$ C_1 + C_2 + 0 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = -C_1 $$ 求导： $$ y' = C_1 e^x - C_2 e^{-x} + (2x - 1)e^x + (x^2 - x)e^x $$ 在 $x=0$： $$ y'(0) = C_1 - C_2 + (-1) + 0 = C_1 - (-C_1) - 1 = 2C_1 -