同济高数 第7章 第7-8-4题
📝 题目
4．大炮以仰角 $\alpha$ 、初速度 $v_{0}$ 发射炮弹，若不计空气阻力，求弹道曲线．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们考虑炮弹在重力作用下的运动，不计空气阻力。取发射点为坐标原点，水平方向为 $x$ 轴，竖直方向为 $y$ 轴，初速度 $v_0$ 与水平方向夹角为 $\alpha$。
初始条件为： $$ x(0) = 0,\quad y(0) = 0 $$ $$ \dot{x}(0) = v_0 \cos\alpha,\quad \dot{y}(0) = v_0 \sin\alpha $$
水平方向无外力，加速度为零： $$ \ddot{x}(t) = 0 $$ 积分得： $$ \dot{x}(t) = C_1 = v_0 \cos\alpha $$ 再积分： $$ x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t + C_2 $$ 由 $x(0)=0$ 得 $C_2 = 0$，所以： $$ x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t $$
竖直方向受重力加速度 $-g$： $$ \ddot{y}(t) = -g $$ 积分一次： $$ \dot{y}(t) = -g t + C_3 $$ 由 $\dot{y}(0) = v_0 \sin\alpha$ 得 $C_3 = v_0 \sin\alpha$，所以： $$ \dot{y}(t) = v_0 \sin\alpha - g t $$ 再积分： $$ y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 + C_4 $$ 由 $y(0)=0$ 得 $C_4 = 0$，所以： $$ y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \frac{1}{2} g t^2 $$
因此弹道曲线的参数方程为： $$ \boxed{\begin{cases} x(t) = v_0 \cos\alpha \cdot t \$$2mm] y(t) = v_0 \sin\alpha \cdot t - \displaystyle\frac{1}{2} g t^2 \end{cases}} $$
若消去参数 $t$，由 $t = \dfrac{x}{v_0 \cos\alpha}$ 代入 $y(t)$ 得： $$ y = x \tan\alpha - \frac{g}{2 v_0^2 \cos^2\alpha} x^2 $$ 这是一条开口向下的抛物线。
难度：★☆☆☆☆