同济高数 第7章 第7-9-2题
📝 题目
2．$\displaystyle y^{\prime \prime}-\frac{y^{\prime}}{x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{2}{x}$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求解二阶变系数线性非齐次微分方程： $$ y^{\prime \prime}-\frac{y^{\prime}}{x}+\frac{y}{x^{2}}=\frac{2}{x}. $$
**第一步：化为标准形式** 方程两边乘以 $x^2$，得： $$ x^2 y'' - x y' + y = 2x. $$ 这是一个欧拉方程（Euler-Cauchy方程）形式。
**第二步：求解对应的齐次方程** 齐次方程为： $$ x^2 y'' - x y' + y = 0. $$ 设 $y = x^m$，则 $y' = m x^{m-1}$，$y'' = m(m-1)x^{m-2}$。代入得： $$ x^2 \cdot m(m-1)x^{m-2} - x \cdot m x^{m-1} + x^m = 0, $$ 即： $$ [m(m-1) - m + 1] x^m = 0. $$ 化简： $$ m^2 - m - m + 1 = m^2 - 2m + 1 = (m-1)^2 = 0. $$ 所以有重根 $m = 1$。
**第三步：齐次方程的通解** 对于重根 $m=1$，齐次方程通解为： $$ y_h = C_1 x + C_2 x \ln x. $$
**第四步：求非齐次方程的一个特解** 使用常数变易法。设特解形式： $$ y_p = u_1(x) x + u_2(x) x \ln x, $$ 其中 $u_1', u_2'$ 满足方程组： $$ \begin{cases} u_1' x + u_2' (x \ln x) = 0, \$$2pt] u_1' (1) + u_2' (\ln x + 1) = \displaystyle\frac{2x}{x^2} = \frac{2}{x}. \end{cases} $$ 第一个方程两边除以 $x$（$x>0$）得： $$ u_1' + u_2' \ln x = 0. $$ 第二个方程是： $$ u_1' + u_2'(\ln x + 1) = \frac{2}{x}. $$ 两式相减得： $$ u_2' = \frac{2}{x}. $$ 代入第一个方程得： $$ u_1' = - u_2' \ln x = -\frac{2 \ln x}{x}. $$
**第五步：积分求 $u_1, u_2$** $$ u_2 = \int \frac{2}{x} dx = 2 \ln x, $$ $$ u_1 = \int -\frac{2 \ln x}{x} dx = -2 \cdot \frac{(\ln x)^2}{2} = -(\ln x)^2. $$ （这里取积分常数均为0，因为我们只需要一个特解。）
因此特解为： $$ y_p = u_1 x + u_2 x \ln x = -(\ln x)^2 \cdot x + (2 \ln x) \cdot x \ln x = -x (\ln x)^2 + 2x (\ln x)^2 = x (\ln x)^2. $$
**第六步：原方程的通解** $$ y = y_h + y_p = C_1 x + C_2 x \ln x + x (\ln x)^2. $$
**最终答案：** $$ \boxed{y = x\left[ C_1 + C_2 \ln x + (\ln x)^2 \right]} $$
难度评级：★★★☆☆ （涉及欧拉方程识别、重根处理、常数变易法，步骤较多但计算常规。）