同济高数 第7章 第7-9-7题

[AI解答]

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这是一个欧拉方程（变系数线性微分方程），形式为： $$ x^{2} y'' - 3x y' + 4y = x + x^{2} \ln x. $$

**第一步：解齐次方程** 齐次方程为： $$ x^{2} y'' - 3x y' + 4y = 0. $$ 设 $ y = x^{r} $，则： $$ y' = r x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)x^{r-2}. $$ 代入齐次方程： $$ x^{2} \cdot r(r-1)x^{r-2} - 3x \cdot r x^{r-1} + 4 x^{r} = 0, $$ 即： $$ r(r-1)x^{r} - 3r x^{r} + 4 x^{r} = 0. $$ 约去 $x^{r}$（$x>0$）得特征方程： $$ r(r-1) - 3r + 4 = r^{2} - 4r + 4 = (r-2)^{2} = 0. $$ 有重根 $r = 2$，因此齐次通解为： $$ y_h = C_1 x^{2} + C_2 x^{2} \ln x. $$

**第二步：求特解（常数变易法）** 设特解形式： $$ y_p = u_1(x) x^{2} + u_2(x) x^{2} \ln x. $$ 由常数变易法公式，需解方程组： $$ \begin{cases} u_1' x^{2} + u_2' x^{2} \ln x = 0, \\ u_1' (2x) + u_2' (2x \ln x + x) = \displaystyle\frac{x + x^{2} \ln x}{x^{2}}. \end{cases} $$ 右边化简： $$ \frac{x + x^{2} \ln x}{x^{2}} = \frac{1}{x} + \ln x. $$

第一个方程两边除以 $x^{2}$（$x>0$）： $$ u_1' + u_2' \ln x = 0. \quad (1) $$ 第二个方程： $$ 2x u_1' + (2x \ln x + x) u_2' = \frac{1}{x} + \ln x. $$ 两边除以 $x$： $$ 2 u_1' + (2 \ln x + 1) u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}. \quad (2) $$

由(1)得 $u_1' = - u_2' \ln x$，代入(2)： $$ 2(-u_2' \ln x) + (2 \ln x + 1) u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}, $$ 即： $$ u_2' ( -2\ln x + 2\ln x + 1) = u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}. $$ 所以： $$ u_2' = \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x}. $$ 积分得： $$ u_2 = \int \left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x} \right) dx = \int x^{-2} dx + \int \frac{\ln x}{x} dx. $$ 计算： $$ \int x^{-2} dx = -x^{-1} = -\frac{1}{x}, $$ $$ \int \frac{\ln x}{x} dx = \frac{1}{2} (\ln x)^{2}. $$ 因此： $$ u_2 = -\frac{1}{x} + \frac{1}{2} \ln^{2} x. $$

再由(1)： $$ u_1' = - u_2' \ln x = -\left( \frac{1}{x^{2}} + \frac{\ln x}{x} \right) \ln x = -\frac{\ln x}{x^{2}} - \frac{\ln^{2} x}{x}. $$ 积分： $$ u_1 = -\int \frac{\ln x}{x^{2}} dx - \int \frac{\ln^{2} x}{x} dx. $$ 分别计算： $$ \int \frac{\ln x}{x^{2}} dx \quad \text{令 } u=\ln x, dv = x^{-2}dx, $$ 得： $$ = -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x}. $$ 所以第一项为： $$ -\left( -\frac{\ln x}{x} - \frac{1}{x} \right) = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x}. $$ 第二项： $$ \int \frac{\ln^{2} x}{x} dx = \frac{1}{3} \ln^{3} x. $$ 因此： $$ u_1 = \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \ln^{3} x. $$

**第三步：写出特解并化简** 特解： $$ y_p = u_1 x^{2} + u_2 x^{2} \ln x = \left( \frac{\ln x}{x} + \frac{1}{x} - \frac{1}{3} \ln^{3} x \right) x^{2} + \left( -\frac{1}{x} + \frac{1}{2} \ln^{2} x \right) x^{2} \ln x. $$ 逐项： 第一项：$x \ln x + x - \frac{1}{3} x^{2} \ln^{3} x$， 第二项：$-x \ln x + \frac{1}{2} x^{2} \ln^{3} x$。 相加后，$x \ln x$ 抵消，$\ln^{3} x$ 项系数为： $$ -\frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1}{6}, $$ 所以： $$ y_p = x + \frac{1}{6} x^{2} \ln^{3} x. $$

**第四步：通解** 原方程通解为： $$ y = y_h + y_p = C_1 x^{2} + C_2 x^{2} \ln x + x + \frac{1}{6} x^{2} \ln^{3} x. $$

难度：★★★☆☆ （涉及欧拉方程解法与常数变易法，计算量中等，需细心处理积分与化简）