同济高数 第10章 第10-1-1题
📝 题目
1．设有一平面薄板（不计其厚度）占有 $x O y$ 面上的闭区域 $D$ ，薄板上分布有面密度为 $\mu=\mu(x, y)$的电荷，且 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续，试用二重积分表达该薄板上的全部电荷 $Q$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 薄板上的全部电荷 $ Q $ 等于电荷面密度 $\mu(x, y)$ 在区域 $D$ 上的二重积分。因为 $\mu(x, y)$ 在 $D$ 上连续，所以二重积分存在。 因此，全部电荷为 $$ Q = \displaystyle\iint_{D} \mu(x, y) \, \mathrm{d}\sigma, $$ 其中 $\mathrm{d}\sigma$ 表示面积微元。在直角坐标系下，也可写作 $$ Q = \displaystyle\iint_{D} \mu(x, y) \, \mathrm{d}x \, \mathrm{d}y. $$
难度：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：理解问题：求薄板上的总电荷Q
薄板占有xOy面上的闭区域D，面密度μ(x,y)连续，总电荷Q等于密度在区域上的积分。
提示：电荷是标量，积分求和即可。
步骤 2/3
目标：建立二重积分表达式
根据二重积分的物理意义，面密度μ(x,y)在区域D上的二重积分即为总电荷Q。
公式：Q = ∬_D μ(x,y) dσ
提示：dσ是面积微元，在直角坐标系下为dxdy。
步骤 3/3
目标：写出最终表达式
在直角坐标系下，二重积分可写为∬_D μ(x,y) dxdy。
公式：Q = ∬_D μ(x,y) dxdy
提示：注意积分区域D是闭区域。
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