同济高数 第10章 第10-1-4题
📝 题目
4．试确定积分区域 $D$ ，使二重积分 $\displaystyle{\iint}_{D}\left(1-2 x^{2}-y^{2}\right) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 达到最大值．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们要求二重积分 $$ \iint_{D} (1 - 2x^2 - y^2) \, \mathrm{d}x\mathrm{d}y $$ 达到最大值，即选择积分区域 $D$ 使得被积函数在 $D$ 上尽可能取正值，而负值部分不包含在积分区域中。
被积函数为 $$ f(x, y) = 1 - 2x^2 - y^2. $$ 当 $f(x, y) \ge 0$ 时，积分贡献非负；当 $f(x, y) < 0$ 时，积分贡献为负，会减小总值。因此，为使积分最大，应取 $$ D = \{(x, y) \mid 1 - 2x^2 - y^2 \ge 0\}. $$ 即 $$ 2x^2 + y^2 \le 1. $$ 这是一个椭圆区域，长半轴在 $y$ 方向为 $1$，短半轴在 $x$ 方向为 $\frac{1}{\sqrt{2}}$。
因此，积分区域 $D$ 为椭圆 $$ \frac{x^2}{(1/\sqrt{2})^2} + \frac{y^2}{1^2} \le 1. $$
此时积分值最大。
**难度评级**：★☆☆☆☆ （只需理解“取被积函数非负的区域”这一极值原理，无需复杂计算。）
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解问题：求二重积分最大值对应的积分区域
二重积分 ∫∫_D f(x,y) dxdy 的值取决于区域 D 的选择。要使积分值最大，应选择 D 使得被积函数 f(x,y) 在 D 上尽可能取正值，而负值部分不包含在内。
提示：积分值最大化的原理：只取被积函数非负的区域。
步骤 2/4
目标：确定被积函数非负的条件
被积函数 f(x,y)=1-2x^2-y^2，令 f(x,y)≥0，即 1-2x^2-y^2≥0，整理得 2x^2+y^2≤1。
公式：1-2x^2-y^2≥0 ⇒ 2x^2+y^2≤1
提示：注意不等号方向：非负即大于等于0。
步骤 3/4
目标：描述积分区域 D
不等式 2x^2+y^2≤1 表示一个椭圆区域，其标准形式为 x^2/(1/2) + y^2/1 ≤1，即 x^2/(1/√2)^2 + y^2/1^2 ≤1。椭圆中心在原点，长半轴在 y 方向长度为1，短半轴在 x 方向长度为1/√2。
公式：D = {(x,y) | 2x^2+y^2≤1}
提示：椭圆区域：长轴在y轴，短轴在x轴。
步骤 4/4
目标：得出结论
因此，使二重积分达到最大值的积分区域 D 为椭圆 2x^2+y^2≤1。
提示：无需计算积分值，只需确定区域。
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