同济高数 第10章 第10-2-5题
📝 题目
5．设 $f(x, y)$ 在 $D$ 上连续，其中 $D$ 是由直线 $y=x, y=a$ 及 $x=b(b\gt a)$ 所围成的闭区域，证明
$$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y=\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{~d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x $$
💡 答案解析
[AI解答]
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我们已知区域 $D$ 是由直线 $y = x$、$y = a$ 及 $x = b$（其中 $b > a$）所围成的闭区域。 首先画出积分区域： - $y = a$ 是水平直线， - $x = b$ 是竖直直线， - $y = x$ 是从左下到右上的对角线。 这三条直线围成的区域是一个三角形，其顶点为 $(a, a)$、$(b, a)$、$(b, b)$。
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**第一步：分析左边积分** 左边积分是： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y $$ 这里，外层对 $x$ 从 $a$ 到 $b$ 积分，内层对 $y$ 从 $y = a$ 到 $y = x$。 即对于每个固定的 $x$，$y$ 从下边界 $y = a$ 到上边界 $y = x$。 这对应区域 $D$ 的 **X型** 表示： $$ D = \{ (x, y) \mid a \le x \le b,\ a \le y \le x \}. $$
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**第二步：转化为Y型积分** 现在我们要交换积分次序，将区域用 **Y型** 表示。 观察区域： - $y$ 的范围是从 $y = a$ 到 $y = b$（因为三角形最高到 $y = b$）。 - 对于固定的 $y$，$x$ 的范围是从左边界 $x = y$（因为斜边 $y = x$）到右边界 $x = b$。
因此Y型表示为： $$ D = \{ (x, y) \mid a \le y \le b,\ y \le x \le b \}. $$
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**第三步：写出交换次序后的积分** 根据Y型表示，先对 $x$ 积分，再对 $y$ 积分： $$ \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x. $$
这正是题目右边要证明的等式。
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**第四步：结论** 由于 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续，根据二重积分与累次积分次序无关的定理（Fubini定理），交换积分次序后积分值不变，因此原等式成立。
$$ \boxed{\displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} x \displaystyle{\int}_{a}^{x} f(x, y) \mathrm{d} y = \displaystyle{\int}_{a}^{b} \mathrm{d} y \displaystyle{\int}_{y}^{b} f(x, y) \mathrm{d} x} $$
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难度：★☆☆☆☆ （本题仅涉及积分区域分析和交换积分次序，属于基础题型，无复杂技巧。）