同济高数 第10章 第10-2-*21题

[AI解答]

[AI解答] 我们要求证 $$ \iint_{D} \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \frac12 \sin 1, $$ 其中 $D$ 是由直线 $x=0, y=0, x+y=1$ 围成的三角形区域。

**第一步：变量变换** 令 $$ u = x+y,\quad v = x-y. $$ 则反解出 $$ x = \frac{u+v}{2},\quad y = \frac{u-v}{2}. $$ 区域 $D$ 的边界为： - $x=0 \Rightarrow u+v=0$， - $y=0 \Rightarrow u-v=0$， - $x+y=1 \Rightarrow u=1$。 并且由于 $x\ge0, y\ge0$，可得 $u\ge |v|$。 因此新区域 $D'$ 为 $$ 0 \le u \le 1,\quad -u \le v \le u. $$

**第二步：计算雅可比行列式** 变换的雅可比矩阵为 $$ \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} \frac12 & \frac12 \$$2pt] \frac12 & -\frac12 \end{vmatrix} = -\frac12. $$ 故 $$ |\det J| = \frac12. $$

**第三步：变换积分** 被积函数为 $$ \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) = \cos\left(\frac{v}{u}\right). $$ 于是积分变为 $$ \iint_{D} \cos\left(\frac{x-y}{x+y}\right) \mathrm{d}x\mathrm{d}y = \int_{u=0}^{1} \int_{v=-u}^{u} \cos\left(\frac{v}{u}\right) \cdot \frac12 \,\mathrm{d}v\,\mathrm{d}u. $$

**第四步：先对 $v$ 积分** 固定 $u>0$，计算内层积分： $$ \int_{-u}^{u} \cos\left(\frac{v}{u}\right) \mathrm{d}v = \left[ u \sin\left(\frac{v}{u}\right) \right]_{v=-u}^{v=u} = u\big(\sin 1 - \sin(-1)\big) = 2u \sin 1. $$ 因此 $$ \iint_{D} \cdots = \frac12 \int_{0}^{1} 2u \sin 1 \,\mathrm{d}u = \sin 1 \int_{0}^{1} u \,\mathrm{d}u. $$

**第五步：计算最后积分** $$ \int_{0}^{1} u \,\mathrm{d}u = \frac12, $$ 所以结果为 $$ \frac12 \sin 1. $$

证毕。

难度：★★☆☆☆