同济高数 第10章 第10-3-1题
📝 题目
1．化三重积分 $I=\displaystyle{\iiint}_{\Omega} f(x, y, z) \mathrm{d} x \mathrm{~d} y \mathrm{~d} z$ 为三次积分，其中积分区域 $\Omega$ 分别是 （1）由双曲抛物面 $x y=z$ 及平面 $x+y-1=0, z=0$ 所围成的闭区域； （2）由曲面 $z=x^{2}+y^{2}$ 及平面 $z=1$ 所围成的闭区域； （3）由曲面 $z=x^{2}+2 y^{2}$ 及 $z=2-x^{2}$ 所围成的闭区域； （4）由曲面 $\displaystyle c z=x y(c\gt 0), \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, z=0$ 所围成的在第 I 卦限内的闭区域．
💡 答案解析
[AI解答]
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**（1）** 区域由双曲抛物面 $xy=z$、平面 $x+y-1=0$ 及 $z=0$ 围成。 首先确定 $x,y$ 范围：由 $x+y-1=0$ 得 $y=1-x$，且 $x\ge 0, y\ge 0$（因 $z=xy\ge 0$ 且区域封闭）。 $z$ 从下底面 $z=0$ 到上曲面 $z=xy$。 因此三次积分为： $$ I = \int_{x=0}^{1} \int_{y=0}^{1-x} \int_{z=0}^{xy} f(x,y,z) \, dz\,dy\,dx. $$
**（2）** 区域由旋转抛物面 $z=x^2+y^2$ 与平面 $z=1$ 围成。 在 $z$ 方向：从 $z=x^2+y^2$ 到 $z=1$。 投影到 $xy$ 平面为圆盘 $x^2+y^2 \le 1$。 因此： $$ I = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{z=x^2+y^2}^{1} f(x,y,z) \, dz\,dy\,dx. $$
**（3）** 区域由曲面 $z=x^2+2y^2$ 与 $z=2-x^2$ 围成。 先求交线：$x^2+2y^2 = 2 - x^2 \Rightarrow 2x^2+2y^2=2 \Rightarrow x^2+y^2=1$。 在 $z$ 方向：从下曲面 $z=x^2+2y^2$ 到上曲面 $z=2-x^2$。 投影区域为圆 $x^2+y^2\le 1$。 因此： $$ I = \int_{x=-1}^{1} \int_{y=-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \int_{z=x^2+2y^2}^{2-x^2} f(x,y,z) \, dz\,dy\,dx. $$
**（4）** 区域由曲面 $cz=xy\;(c>0)$、柱面 $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$ 及平面 $z=0$ 围成，且限制在第一卦限。 第一卦限内 $x\ge 0, y\ge 0, z\ge 0$。 $z$ 从 $0$ 到 $\frac{xy}{c}$。 投影区域为椭圆在第一象限部分：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}\le 1,\; x\ge 0, y\ge 0$。 因此： $$ I = \int_{x=0}^{a} \int_{y=0}^{b\sqrt{1-\frac{x^2}{a^2}}} \int_{z=0}^{\frac{xy}{c}} f(x,y,z) \, dz\,dy\,dx. $$
**难度评级**：★★☆☆☆ （主要考察空间区域投影与积分限确定，属于基础三重积分化累次积分练习，但需注意曲面类型及区域边界。）