同济高数 第10章 第10-3-2题
📝 题目
2．设有一物体占有空间闭区域 $\Omega=\{(x, y, z) \mid 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1,0 \leqslant z \leqslant 1\}$ ，在点 $(x, y, z)$ 处的密度为 $\rho(x, y, z)=x+y+z$ ，计算该物体的质量．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答]
物体的质量 $M$ 由密度函数在空间区域上的三重积分给出： $$ M = \iiint_{\Omega} \rho(x, y, z) \, dV $$ 其中 $\Omega = [0,1] \times [0,1] \times [0,1]$，且 $\rho(x, y, z) = x + y + z$。
因此： $$ M = \iiint_{\Omega} (x + y + z) \, dx\,dy\,dz $$
由于积分区域是长方体，且被积函数可分离为三个变量的和，我们可以按顺序积分。先对 $z$ 积分： $$ M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left( \int_{0}^{1} (x + y + z) \, dz \right) dy \, dx $$
计算内层积分： $$ \int_{0}^{1} (x + y + z) \, dz = \left[ (x+y)z + \frac{z^2}{2} \right]_{0}^{1} = (x+y) \cdot 1 + \frac{1}{2} = x + y + \frac{1}{2} $$
于是： $$ M = \int_{0}^{1} \int_{0}^{1} \left( x + y + \frac{1}{2} \right) dy \, dx $$
再对 $y$ 积分： $$ \int_{0}^{1} \left( x + y + \frac{1}{2} \right) dy = \left[ xy + \frac{y^2}{2} + \frac{1}{2}y \right]_{0}^{1} = x \cdot 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = x + 1 $$
最后对 $x$ 积分： $$ M = \int_{0}^{1} (x + 1) \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} + x \right]_{0}^{1} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} $$
因此，该物体的质量为 $\displaystyle \frac{3}{2}$。
难度：★☆☆☆☆