同济高数 第10章 第10-3-*15题

[AI解答]

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**步骤1：建立密度函数与质量积分表达式** 由题意，球心在原点，半径为 $R$，球内任意一点 $(x,y,z)$ 到球心的距离为 $r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$。 密度与距离成正比，设比例系数为 $k > 0$，则密度函数为 $$ \rho(x,y,z) = k r = k \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}. $$ 球的质量 $M$ 为密度在球体区域 $\Omega$ 上的三重积分： $$ M = \iiint_{\Omega} \rho \, \mathrm{d}V = \iiint_{\Omega} k r \, \mathrm{d}V. $$

**步骤2：采用球坐标简化积分** 由于被积函数和积分区域均为球对称，采用球坐标变换： $$ x = r \sin\theta \cos\phi,\quad y = r \sin\theta \sin\phi,\quad z = r \cos\theta, $$ 其中 $0 \le r \le R$，$0 \le \theta \le \pi$，$0 \le \phi \le 2\pi$，体积元 $\mathrm{d}V = r^2 \sin\theta \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi$。 于是质量积分化为 $$ M = \int_{\phi=0}^{2\pi} \int_{\theta=0}^{\pi} \int_{r=0}^{R} k r \cdot (r^2 \sin\theta) \, \mathrm{d}r \mathrm{d}\theta \mathrm{d}\phi = k \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta \int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r. $$

**步骤3：逐次积分计算** 先对 $r$ 积分： $$ \int_{0}^{R} r^3 \, \mathrm{d}r = \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{R^4}{4}. $$ 再对 $\theta$ 积分： $$ \int_{0}^{\pi} \sin\theta \, \mathrm{d}\theta = \left[ -\cos\theta \right]_{0}^{\pi} = -(-1) - (-1) = 2. $$ 最后对 $\phi$ 积分： $$ \int_{0}^{2\pi} \mathrm{d}\phi = 2\pi. $$ 将三部分相乘： $$ M = k \cdot 2\pi \cdot 2 \cdot \frac{R^4}{4} = k \cdot 2\pi \cdot \frac{R^4}{2} = k \pi R^4. $$

**最终答案** $$ \boxed{M = k \pi R^{4}} $$ 其中 $k$ 为密度与距离的比例常数。

**难度评级**：★★☆☆☆ （基本球坐标三重积分，步骤直接，计算简单，但需理解密度函数与球坐标变换）