同济高数 第10章 第10-5-3题
📝 题目
3．设 $F(x)=\displaystyle{\int}_{0}^{x}(x+y) f(y) \mathrm{d} y$ ，其中 $f(y)$ 为可微的函数，求 $F^{\prime \prime}(x)$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
[AI解答] 我们已知 $$ F(x)=\int_{0}^{x} (x+y) f(y) \, \mathrm{d}y $$ 被积函数中同时含有变量 $x$ 和积分变量 $y$，因此不能直接对积分上限求导，需要先将含 $x$ 的因子提出积分号外。
将积分拆开： $$ F(x) = \int_{0}^{x} x f(y) \, \mathrm{d}y + \int_{0}^{x} y f(y) \, \mathrm{d}y = x \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + \int_{0}^{x} y f(y) \, \mathrm{d}y $$
现在对 $x$ 求一阶导数，使用乘积法则和含参积分求导公式（莱布尼茨法则）： $$ F'(x) = \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + x f(x) + x f(x) $$ 解释： - 第一项来自 $x$ 乘积分：导数 = $1 \cdot \int_{0}^{x} f(y) \mathrm{d}y + x \cdot f(x)$ - 第二项来自 $\int_{0}^{x} y f(y) \mathrm{d}y$ 的导数是 $x f(x)$
合并同类项： $$ F'(x) = \int_{0}^{x} f(y) \, \mathrm{d}y + 2x f(x) $$
再求二阶导数： $$ F''(x) = f(x) + 2f(x) + 2x f'(x) $$ 即 $$ F''(x) = 3f(x) + 2x f'(x) $$
因此最终结果为： $$ \boxed{F''(x)=3f(x)+2x f'(x)} $$
难度：★★☆☆☆