同济高数 第11章 第11-1-1题

教材习题

📝 题目

1．设在 $x O y$ 面内有一分布着质量的曲线弧 $L$ ，在点 $(x, y)$ 处它的线密度为 $\mu(x, y)$ ．用对弧长的曲线积分分别表达： （1）这曲线弧对 $x$ 轴、对 $y$ 轴的转动惯量 $I_{x}, I_{y}$ ； （2）这曲线弧的质心坐标 $\bar{x}, \bar{y}$ ．

💡 答案解析

[AI解答]

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（1）曲线弧对坐标轴的转动惯量

对于分布在曲线弧 $L$ 上的质量，线密度为 $\mu(x,y)$，则质量微元为 $$ dm = \mu(x,y)\, ds $$ 其中 $ds$ 为弧长微元。

对 $x$ 轴的转动惯量定义为各质量微元到 $x$ 轴距离的平方乘以质量微元之和，而点到 $x$ 轴的距离为 $|y|$，因此 $$ I_x = \int_L y^2 \, dm = \int_L y^2 \mu(x,y)\, ds $$ 同理，对 $y$ 轴的转动惯量为 $$ I_y = \int_L x^2 \, dm = \int_L x^2 \mu(x,y)\, ds $$

（2）曲线弧的质心坐标

质心坐标公式为 $$ \bar{x} = \frac{\displaystyle\int_L x\, dm}{\displaystyle\int_L dm}, \quad \bar{y} = \frac{\displaystyle\int_L y\, dm}{\displaystyle\int_L dm} $$ 将 $dm = \mu(x,y)\, ds$ 代入得 $$ \bar{x} = \frac{\displaystyle\int_L x\,\mu(x,y)\, ds}{\displaystyle\int_L \mu(x,y)\, ds}, \quad \bar{y} = \frac{\displaystyle\int_L y\,\mu(x,y)\, ds}{\displaystyle\int_L \mu(x,y)\, ds} $$

难度：★☆☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/4
目标：写出质量微元dm
在曲线弧L上，线密度为μ(x,y)，弧长微元为ds，则质量微元dm = μ(x,y) ds。
公式：dm = μ(x,y) ds
提示：注意ds是弧长微元，对于参数方程有ds = sqrt((dx/dt)^2+(dy/dt)^2) dt。
步骤 2/4
目标：表达对x轴的转动惯量I_x
对x轴的转动惯量是各质量微元到x轴距离的平方乘以质量微元之和，点到x轴距离为|y|，故I_x = ∫_L y^2 dm = ∫_L y^2 μ(x,y) ds。
公式：I_x = ∫_L y^2 μ(x,y) ds
提示：距离平方项为y^2，因为转动惯量定义中距离取平方。
步骤 3/4
目标：表达对y轴的转动惯量I_y
类似地，对y轴的转动惯量是各质量微元到y轴距离的平方乘以质量微元之和，点到y轴距离为|x|，故I_y = ∫_L x^2 dm = ∫_L x^2 μ(x,y) ds。
公式：I_y = ∫_L x^2 μ(x,y) ds
提示：注意与I_x对称。
步骤 4/4
目标：表达质心坐标公式
质心坐标由质量加权平均得到：总质量M = ∫_L dm = ∫_L μ(x,y) ds，对x轴的静矩M_y = ∫_L x dm = ∫_L x μ(x,y) ds，对y轴的静矩M_x = ∫_L y dm = ∫_L y μ(x,y) ds，则质心坐标：x̄ = M_y / M, ȳ = M_x / M。
公式：x̄ = (∫_L x μ(x,y) ds) / (∫_L μ(x,y) ds), ȳ = (∫_L y μ(x,y) ds) / (∫_L μ(x,y) ds)
提示：注意静矩的定义：对y轴的静矩是x乘以质量微元，对x轴的静矩是y乘以质量微元。

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