同济高数 第11章 第11-2-1题
📝 题目
1．设 $L$ 为 $x O y$ 面内直线 $x=a$ 上的一段，证明： $\displaystyle{\int}_{L} P(x, y) \mathrm{d} x=0$ ．
💡 答案解析
[AI解答]
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**证明**： 设直线段 $L$ 为 $x = a$ 上的一段，其参数方程可写为 $$ \begin{cases} x = a, \\ y = t, \quad t \in [\alpha, \beta], \end{cases} $$ 其中 $\alpha, \beta$ 为常数，表示该直线段的纵坐标范围。
则对坐标的曲线积分中，$\mathrm{d}x = 0$，因为 $x$ 为常数，其微分恒为零。于是 $$ \int_{L} P(x, y) \, \mathrm{d}x = \int_{\alpha}^{\beta} P(a, t) \cdot 0 \, \mathrm{d}t = 0. $$ 因此原式成立。
**难度评级**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出直线段L的参数方程
设直线段L为x=a上的一段，其参数方程可写为x=a, y=t, t∈[α,β]，其中α,β为常数，表示该直线段的纵坐标范围。
公式：x=a, y=t, t∈[α,β]
提示：注意参数t的取值范围对应直线段的端点。
步骤 2/3
目标：计算dx
由于x为常数，其微分dx=0。
公式：dx=0
提示：常数函数的微分为0。
步骤 3/3
目标：代入曲线积分公式
将参数方程和dx=0代入对坐标的曲线积分公式：∫_L P(x,y)dx = ∫_α^β P(a,t)·0 dt = 0。
公式：∫_L P(x,y)dx = ∫_α^β P(a,t)·0 dt = 0
提示：被积函数为0，积分结果为0。
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