同济高数 第11章 第11-3-3题
📝 题目
3．计算曲线积分 $\displaystyle{\oint}_{L} \frac{y \mathrm{~d} x-x \mathrm{~d} y}{2\left(x^{2}+y^{2}\right)}$ ，其中 $L$ 为圆周 $(x-1)^{2}+y^{2}=2, L$ 的方向为逆时针方向．
💡 答案解析
[AI解答]
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**题目** 计算曲线积分 $$ \oint_{L} \frac{y \, dx - x \, dy}{2(x^2 + y^2)}, $$ 其中 $L$ 为圆周 $(x-1)^2 + y^2 = 2$，方向为逆时针。
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**步骤 1：分析被积函数与路径** 被积表达式为 $$ P\,dx + Q\,dy = \frac{y}{2(x^2+y^2)}dx + \frac{-x}{2(x^2+y^2)}dy. $$ 检查是否满足格林公式条件： 函数在原点 $(0,0)$ 处分母为零，因此若原点在 $L$ 所围区域内，则不能直接应用格林公式。 先判断原点与圆周的位置关系： 圆周方程 $(x-1)^2 + y^2 = 2$，圆心 $(1,0)$，半径 $R = \sqrt{2}$。 圆心到原点的距离为 $1$，而半径 $\sqrt{2} \approx 1.414 > 1$，所以原点在圆周内部。
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**步骤 2：挖掉奇点，使用“小圆法”** 由于原点是被积函数的奇点，在内部挖去一个以原点为中心、半径充分小的圆 $L_\varepsilon$（取逆时针方向），则对于由 $L$ 和 $L_\varepsilon$ 围成的环形区域，可应用格林公式。 设 $D$ 为 $L$ 与 $L_\varepsilon$ 之间的区域，则 $$ \oint_{L} - \oint_{L_\varepsilon} = \iint_D \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx\,dy. $$ 先计算 $$ P = \frac{y}{2(x^2+y^2)},\quad Q = \frac{-x}{2(x^2+y^2)}. $$ 求偏导： $$ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{-x}{2(x^2+y^2)} \right) = -\frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+y^2) - x(2x)}{(x^2+y^2)^2} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2}. $$ $$ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{y}{2(x^2+y^2)} \right) = \frac{1}{2} \cdot \frac{(x^2+y^2) - y(2y)}{(x^2+y^2)^2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2}. $$ 于是 $$ \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} = -\frac{1}{2} \cdot \frac{y^2 - x^2}{(x^2+y^2)^2} - \frac{1}{2} \cdot \frac{x^2 - y^2}{(x^2+y^2)^2} = 0. $$ 所以在除原点外的区域，被积表达式是恰当形式，格林公式给出零。
因此 $$ \oint_{L} = \oint_{L_\varepsilon}. $$
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**步骤 3：计算小圆上的积分** 取 $L_\varepsilon$：$x = \varepsilon \cos\theta,\ y = \varepsilon \sin\theta$，方向逆时针，$\theta$ 从 $0$ 到 $2\pi$。 则 $$ dx = -\varepsilon\sin\theta\, d\theta,\quad dy = \varepsilon\cos\theta\, d\theta, $$ 代入被积函数： $$ \frac{y\,dx - x\,dy}{2(x^2+y^2)} = \frac{\varepsilon\sin\theta (-\varepsilon\sin\theta\, d\theta) - \varepsilon\cos\theta (\varepsilon\cos\theta\, d\theta)}{2\varepsilon^2} = \frac{-\varepsilon^2(\sin^2\theta + \cos^2\theta)\, d\theta}{2\varepsilon^2} = -\frac{1}{2} d\theta. $$ 于是 $$ \oint_{L_\varepsilon} = \int_0^{2\pi} -\frac12 d\theta = -\pi. $$
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**步骤 4：得到原积分结果** 由步骤2， $$ \oint_{L} = \oint_{L_\varepsilon} = -\pi. $$
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**最终答案** $$ \boxed{-\pi} $$